[해설] 농장 수확량 손실 예측 연습문제: 최대 손실 확률 계산

안녕하세요! 농장 수확량 손실 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 최대 손실 확률 계산

한 농장에서 연간 수확량 손실은 홍수, 가뭄, 해충으로 인해 발생할 수 있습니다. 이 손실들은 각각 평균 2.0, 3.0, 4.0인 지수 분포를 따르며, 상호 독립적입니다.

이 손실들의 최대값이 5를 초과할 확률을 계산하시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

지수 분포의 특성:
지수 분포의 평균이 $\lambda$일 때, 그 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

• $f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0$

여기서, 지수 분포의 매개변수 $\lambda$는 평균의 역수입니다. 즉, $\lambda = \frac{1}{\mu}$ 입니다.

1. 지수 분포의 매개변수 계산:

• $\lambda_1 = \frac{1}{2.0} = 0.5$
• $\lambda_2 = \frac{1}{3.0} \approx 0.3333$
• $\lambda_3 = \frac{1}{4.0} = 0.25$

2. 최대값이 5 이하일 확률 계산:

• $P(X \leq 5) = 1 – e^{-0.5 \cdot 5} = 1 – e^{-2.5}$
• $P(Y \leq 5) = 1 – e^{-0.3333 \cdot 5} = 1 – e^{-1.6665}$
• $P(Z \leq 5) = 1 – e^{-0.25 \cdot 5} = 1 – e^{-1.25}$

3. 각 확률 계산:

• $P(X \leq 5) \approx 1 – 0.0821 = 0.9179$
• $P(Y \leq 5) \approx 1 – 0.1889 = 0.8111$
• $P(Z \leq 5) \approx 1 – 0.2865 = 0.7135$

4. 최대값이 5 이하일 확률의 곱 계산:

• $P(\max(X, Y, Z) \leq 5) = 0.9179 \cdot 0.8111 \cdot 0.7135 \approx 0.5312$

5. 최대값이 5를 초과할 확률 계산:

• $P(\max(X, Y, Z) > 5) = 1 – 0.5312 = 0.4688$

따라서 이 손실들의 최대값이 5를 초과할 확률은 약 0.47입니다.