[해설] 대출 거절 금액 예측 연습문제: 7명의 신청자 중 최대 거절 금액의 기대값 계산

안녕하세요! 대출 거절 금액 예측 연습문제 해설입니다.

문제:7명의 신청자 중 최대 거절 금액의 기대값 계산

대출 심사에서 거절된 신청자의 금액은 상호 독립적인 랜덤 변수들이며, 다음과 같은 공통 밀도 함수를 따릅니다:

$f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x^5}, & x > 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 ( x )는 거절된 대출 신청 금액을 천 단위로 나타낸 것입니다. 7명의 신청자가 대출을 거절당했다고 가정합니다. 이 7명의 신청자 중 가장 큰 거절 금액의 기대값을 계산하세요.

문제 풀이

1.주어진 밀도 함수 $f(x)$:

$f(x) = \frac{4}{x^5}, \quad x > 1$

2. 누적 분포 함수 (CDF) $F(x)$:

$F(x) = \int_{1}^{x} \frac{4}{t^5} dt = 1 – \frac{1}{x^4}, \quad x > 1$

3. 7개의 독립적인 거절된 대출 금액 중 가장 큰 값 $Y = \max(X_1, X_2, \ldots, X_7)$의 분포:

$G(y) = P(Y \leq y) = P(X_1 \leq y, \ldots, X_7 \leq y) = [F(x)]^7 = \left(1 – \frac{1}{y^4}\right)^7$

4. 밀도 함수 $g(y)$:

$g(y) = G{\prime}(y) = 7 \left(1 – \frac{1}{y^4}\right)^6 \cdot \frac{4}{y^5} = \frac{28}{y^5} \left(1 – \frac{1}{y^4}\right)^6, \quad y > 1$

5. 기대값 $E[Y]$ :

$E[Y] = \int_{1}^{\infty} y g(y) \, dy = 28 \int_{1}^{\infty} \frac{y}{y^5} \left(1 – \frac{1}{y^4}\right)^6 \, dy$

$= 28 \int_{1}^{\infty} y^{-4} \left(1 – \frac{6}{y^4} + \frac{15}{y^8} – \frac{20}{y^{12}} + \frac{15}{y^{16}} – \frac{6}{y^{20}} + \frac{1}{y^{24}}\right) \, dy$

각 적분의 결과는:

$\int_{1}^{\infty} y^{-4} \, dy = \frac{1}{3}$

$\int_{1}^{\infty} y^{-8} \, dy = \frac{1}{7}$

$\int_{1}^{\infty} y^{-12} \, dy = \frac{1}{11}$

$\int_{1}^{\infty} y^{-16} \, dy = \frac{1}{15}$

$\int_{1}^{\infty} y^{-20} \, dy = \frac{1}{19}$

$\int_{1}^{\infty} y^{-24} \, dy = \frac{1}{23}$

따라서 기대값은:

$E[Y] = 28 \left( \frac{1}{3} – 6 \cdot \frac{1}{7} + 15 \cdot \frac{1}{11} – 20 \cdot \frac{1}{15} + 15 \cdot \frac{1}{19} – 6 \cdot \frac{1}{23} + \frac{1}{27} \right)$

$= 28 \left( \frac{1}{3} – \frac{6}{7} + \frac{15}{11} – \frac{20}{15} + \frac{15}{19} – \frac{6}{23} + \frac{1}{27} \right)$

$= 28 \left( \frac{1}{3} – \frac{6}{7} + \frac{15}{11} – \frac{20}{15} + \frac{15}{19} – \frac{6}{23} + \frac{1}{27} \right)$

이를 계산하면,

$E[Y] \approx 2.086$

따라서, 7명의 신청자 중 가장 큰 거절 금액의 기대값은 약 2,086 달러입니다.