[해설] 이항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: IT 회사의 시스템 장애 발생 확률 분석

안녕하세요! 이항 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:IT 회사의 시스템 장애 발생 확률 분석

한 IT 회사는 서버 오류를 보장하는 보험에 가입했습니다. 주어진 달 동안 하나 이상의 서버 오류가 발생할 확률은 0.60입니다. 서로 다른 달에 발생하는 서버 오류의 수는 서로 독립적입니다.

최소한 4개월 동안 서버 오류가 발생하지 않고, 네 번째 달에 최소한 하나의 서버 오류가 발생할 확률을 계산하세요.(소수점 셋째 자리에서 반올림하세요.)

문제 풀이

1.확률 변수 정의:

• 주어진 달 동안 서버 오류가 발생하지 않을 확률은 $(1 – 0.60 = 0.40)$입니다.
• 주어진 달 동안 서버 오류가 발생할 확률은 $0.60$입니다.

2.조건을 만족하는 경우 계산:

최소 4개월 동안 서버 오류가 발생하지 않고 네 번째 달에 서버 오류가 발생하는 경우를 계산해야 합니다. 첫 7개월 동안 최소 4개월 동안 서버 오류가 발생하지 않아야 합니다. 이는 다음과 같이 계산됩니다:

• $\binom{7}{4} 0.4^4 0.6^3 + \binom{7}{5} 0.4^5 0.6^2 + \binom{7}{6} 0.4^6 0.6 + \binom{7}{7} 0.4^7$

1. $(\binom{7}{4} 0.4^4 0.6^3):$
   • $\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = 35$
   • $35 \times (0.4)^4 \times (0.6)^3 = 35 \times 0.0256 \times 0.216 = 0.193536$
2. $(\binom{7}{5} 0.4^5 0.6^2):$
   • $\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = 21$
   • $21 \times (0.4)^5 \times (0.6)^2 = 21 \times 0.01024 \times 0.36 = 0.0774144$
3. $(\binom{7}{6} 0.4^6 0.6):$
   • $\binom{7}{6} = 7$
   • $7 \times (0.4)^6 \times (0.6) = 7 \times 0.004096 \times 0.6 = 0.0172032$
4. $(\binom{7}{7} 0.4^7):$
   • $\binom{7}{7} = 1$
   • $1 \times (0.4)^7 = 0.0016384$

이들을 모두 합치면:

• $0.193536 + 0.0774144 + 0.0172032 + 0.0016384 = 0.289792$

따라서, 이 경우의 확률은 약 $0.29$입니다.

방법 2: 음이항 분포 사용

음이항 분포에서 $K$는 네 번째 성공(사고 없음) 이전의 실패 수(사고 발생)입니다. 따라서, $P(K < 4)$를 계산합니다.

• $P(K < 4) = 0.4^4 + \binom{4}{1} 0.4^4 0.6 + \binom{5}{2} 0.4^4 0.6^2 + \binom{6}{3} 0.4^4 0.6^3$

계산을 해보겠습니다:

1. $(0.4)^4 = 0.0256$
2. $(\binom{4}{1} 0.4^4 0.6):$
   • $ \binom{4}{1} = 4 $
   • $4 \times (0.4)^4 \times (0.6) = 4 \times 0.0256 \times 0.6 = 0.06144$
3. $(\binom{5}{2} 0.4^4 0.6^2):$
   • $ \binom{5}{2} = 10 $
   • $10 \times (0.4)^4 \times (0.6)^2 = 10 \times 0.0256 \times 0.36 = 0.09216$
4. $(\binom{6}{3} 0.4^4 0.6^3):$
   • $\binom{6}{3} = 20$
   • $20 \times (0.4)^4 \times (0.6)^3 = 20 \times 0.0256 \times 0.216 = 0.110592$

이들을 모두 합치면:

• $0.0256 + 0.06144 + 0.09216 + 0.110592 = 0.289792$

따라서, 이 경우의 확률도 약 0.29입니다.

따라서, 정답은 0.29입니다.