[해설] 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제: 회사 직원의 건강 문제와 흡연 확률 분석

안녕하세요! 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 회사 직원의 건강 문제와 흡연 확률 분석

한 회사에서 무작위로 선택된 직원이 건강 문제가 있을 확률은 0.25입니다. 건강 문제가 있는 직원은 건강 문제가 없는 직원보다 흡연자일 확률이 두 배 높습니다.

직원이 흡연자라는 사실을 알았을 때, 그가 건강 문제를 가지고 있을 확률을 계산하십시오.

변수 정의:

• $H$: 건강 문제가 있는 경우
• $S$: 흡연자인 경우
• $P(H)$: 건강 문제가 있을 확률 $= 0.25$
• $P(S|H)$: 건강 문제가 있는 경우 흡연자일 확률 $= 2P(S|\neg H)$
• $P(S|\neg H)$: 건강 문제가 없는 경우 흡연자일 확률
• $P(\neg H)$: 건강 문제가 없는 경우의 확률 $= 1 – 0.25 = 0.75$

문제 풀이

베이즈 정리를 사용하여 계산하면:

• $P(B|T) = \frac{P(T|B) \times P(B)}{P(T)}$

여기서 $P(T)$는 전체적으로 버그 보고가 될 확률로, 이는 버그가 있는 경우와 없는 경우를 모두 포함합니다:

• $P(T) = P(T|B) \times P(B) + P(T|\neg B) \times P(\neg B)$

$P(S|H) = 2P(S|\neg H)$이므로 이를 대입하여 계산을 진행합니다.

계산 단계:

$P(S|\neg H)$를 $x$라고 가정합니다. 이때 $P(S|H)$는 $2x$ 입니다.

전체 흡연자 비율 $P(S)$는:

• $P(S) = (2x) \times 0.25 + x \times 0.75 = 0.5x + 0.75x = 1.25x$

이제 베이즈 정리를 사용하여 조건부 확률 $P(H|S)$를 구합니다:

• $P(H|S) = \frac{(2x) \times 0.25}{1.25x} = \frac{0.5x}{1.25x} = \frac{0.5}{1.25} = \frac{1}{2.5} = \frac{2}{5}$

따라서, 흡연자라는 사실을 알았을 때, 그가 건강 문제를 가지고 있을 확률은 $\frac{2}{5}$입니다.