[해설]두 독립 정규분포를 이용한 측정 확률 계산 연습문제: 두 로봇의 측정 정밀도를 이용한 확률 분석

안녕하세요! 두 독립 정규분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:두 로봇의 측정 정밀도를 이용한 확률 분석

두 대의 로봇이 각각 정밀 장비를 사용하여 물체의 직경을 측정합니다. 첫 번째 로봇은 덜 정밀한 장비를 사용하며, 그 측정 오차는 평균이 $0$이고 표준 편차가 $0.0056d$인 정규분포를 따릅니다. 두 번째 로봇은 보다 정밀한 장비를 사용하며, 그 측정 오차는 평균이 $0$이고 표준 편차가 $0.0044d$인 정규분포를 따릅니다. 두 로봇의 측정은 서로 독립적입니다.

두 로봇의 측정값 평균이 실제 물체의 직경에서 $0.005d$ 이내에 있는 확률을 계산하세요. 여기서 $d$는 물체의 실제 직경입니다. (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(Z \leq 1.4) = 0.9192$로 계산한다.)

문제 정보 요약

• 첫 번째 도구의 측정 오차는 평균이 $0$이고 표준 편차가 $(0.0056d)$인 정규분포를 따르며, 두 번째 도구의 측정 오차는 평균이 $0$이고 표준 편차가 $(0.0044d)$인 정규분포를 따릅니다.
• 두 오차는 서로 독립적입니다.

문제 풀이

분포 확정

두 로봇의 측정 오차를 각각 $X_1, X_2$라고 할 때, 문제에서 요구하는 ‘두 측정값의 평균의 오차’ $Y$는 다음과 같이 정의됩니다.

$$Y = \frac{X_1 + X_2}{2}$$

두 독립적인 정규분포의 합은 정규분포를 따르므로, Y의 분포는 다음과 같습니다.

• 평균: $E[Y] = \frac{0 + 0}{2} = 0$
• 분산: $Var(Y) = Var\left(\frac{X_1 + X_2}{2} ight) = \frac{1}{4}(Var(X_1) + Var(X_2))$

이를 계산하면 $Y$의 표준 편차 $\sigma_Y$는 다음과 같습니다.

$$\sigma_Y = \sqrt{\frac{(0.0056d)^2 + (0.0044d)^2}{4}} = \sqrt{\frac{0.00003136d^2 + 0.00001936d^2}{4}}$$

$$\sigma_Y = \sqrt{0.00001268d^2} \approx 0.00356d$$

따라서, 평균 오차 $Y$의 분포는 $Y \sim N(0, (0.00356d)^2)$입니다.

확률 계산 (표준화)

구하고자 하는 확률은 평균 오차 $Y$의 절대값이 $0.005d$ 이하일 확률입니다. 이를 표준정규분포 변수 $Z$로 표준화하여 계산합니다.

$$P(-0.005d \leq Y \leq 0.005d) = P\left(\frac{-0.005d – 0}{0.00356d} \leq Z \leq \frac{0.005d – 0}{0.00356d} ight)$$

수치를 계산하면 다음과 같습니다.

$$P\left(\frac{-0.005}{0.00356} \leq Z \leq \frac{0.005}{0.00356} ight) \approx P(-1.4 \leq Z \leq 1.4)$$

표준정규분포표를 이용하여 확률값을 구합니다.

$$\begin{aligned} P(-1.4 \leq Z \leq 1.4) &= P(Z \leq 1.4) – P(Z \leq -1.4) \ &= 0.9192 – (1 – 0.9192) \ &= 2(0.9192) – 1 \ &= 0.8384 \end{aligned}$$

두 로봇의 측정값 평균이 실제 직경에서 $0.005d$ 이내에 있을 확률은 약 0.84(84%)입니다.