[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대 보상금 계산 연습문제: 의료 보험의 공제액 적용 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대 보상금 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 의료 보험의 공제액 적용 분석

한 의료 보험 회사가 1년짜리 보험 상품을 판매하고 있습니다. 이 보험의 공제액은 2입니다. 보험에 가입한 고객이 한 해 동안 의료비를 청구할 확률은 0.05입니다. 의료비 청구가 발생하면, $N$ 금액의 청구가 발생할 확률은 $\frac{K}{N}$ 입니다. 여기서 $N$ 은 1, 2, 3, 4, 5 중 하나이고 $K$ 는 상수입니다. 가능한 청구 금액은 이 다섯 가지뿐이며 한 번의 청구만 발생할 수 있습니다.

이 보험의 기대 보상금을 계산하십시오.(소수점 넷째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1.확률 상수 $K$ 계산:

모든 $N$ 에 대한 확률의 합은 1이어야 합니다.

• $ \sum_{N=1}^{5} \frac{K}{N} = 1$
• $K \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) = 1$
• $K \left( \frac{60 + 30 + 20 + 15 + 12}{60} \right) = 1$
• $K \left( \frac{137}{60} \right) = 1$
• $K = \frac{60}{137}$

2. 각 청구 금액의 기대값 계산:

청구 발생 확률은 0.05이므로, 청구가 발생했을 때 각 청구 금액의 기대값을 계산합니다.

• $P(N) = \frac{K}{N} = \frac{60/137}{N}$
• 청구액이 2 이하이면 보험사는 보상하지 않으므로, 보상받을 금액은 $N$ 이 3, 4, 5일 때만 발생합니다.

3. 각 경우의 기대 보상액 계산:

• $N = 1$ 및 $N = 2$ : 공제액 이하이므로 보상금 $0$
• $N = 3 : 3 – 2 = 1 ,$ 확률은 $\frac{60/137}{3}$
• $N = 4 : 4 – 2 = 2 ,$ 확률은 $\frac{60/137}{4}$
• $N = 5 : 5 – 2 = 3 ,$ 확률은 $\frac{60/137}{5}$

4. 기대 보상액 계산:

• $E[$보상액$] = 0.05 \left( 1 \cdot \frac{60/137}{3} + 2 \cdot \frac{60/137}{4} + 3 \cdot \frac{60/137}{5} \right)$
• $= 0.05 \left( \frac{60}{137 \cdot 3} + \frac{120}{137 \cdot 4} + \frac{180}{137 \cdot 5} \right)$
• $= 0.05 \left( \frac{60}{411} + \frac{120}{548} + \frac{180}{685} \right)$
• $= 0.05 \left( 0.146 + 0.219 + 0.263 \right)$
• $= 0.05 \left( 0.628 \right)$
• $= 0.0314$

따라서 기대 보상액은 약 0.031입니다.