[해설] 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제: 부모의 당뇨병 이력과 남성의 사망 원인 간 상관관계 분석

안녕하세요! 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 부모의 당뇨병 이력과 남성의 사망 원인 간 상관관계 분석

2025년, 한 대학병원의 공중 보건 연구원이 발표한 연구 결과입니다.

• 사망한 937명의 남성들의 의료 기록을 조사한 결과, 이들 중 210명이 당뇨병 관련 합병증으로 사망한 것을 발견했습니다. 
• 또한, 937명 중 312명은 최소한 한 명의 부모가 당뇨병을 겪었으며, 이 중 102명은 당뇨병 관련 합병증으로 사망했습니다.

이 데이터를 바탕으로, 부모가 모두 당뇨병을 겪지 않은 남성이 당뇨병 관련 합병증으로 사망할 확률을 계산하세요.(소수점 넷째 자리에서 반올림하세요.)

정의:

먼저 문제의 상황을 사건으로 정의하고, 주어진 데이터를 전체 인원($N=937$)에 대한 확률로 나타냅니다.

• 사건 $D$: 남성이 당뇨병 관련 합병증으로 사망
• 사건 $P$: 남성의 부모 중 적어도 한 명이 당뇨병을 겪음
• 사건 $P^c$: 남성의 부모가 모두 당뇨병을 겪지 않음 (사건 $P$의 여사건)

문제 정보 요약:

주어진 데이터에 따른 확률은 다음과 같습니다.

1. 당뇨병 관련 합병증으로 사망할 확률:
   $$P(D) = \frac{210}{937}$$
2. 부모가 당뇨병을 겪었을 확률:
   $$P(P) = \frac{312}{937}$$
3. 부모가 당뇨병을 겪었고, 당뇨병 합병증으로 사망할 확률 (교사건):
   $$P(D \cap P) = \frac{102}{937}$$

문제 풀이

문제에서 요구하는 것은 “부모가 당뇨병을 겪지 않았다는 조건($P^c$) 하에, 당뇨병 합병증으로 사망($D$)할 확률”입니다. 이를 조건부 확률 기호로 표현하면 다음과 같습니다.

$$P(D | P^c)$$

조건부 확률의 정의에 따라 식을 세웁니다.

$$P(D | P^c) = \frac{P(D \cap P^c)}{P(P^c)}$$

1. 부모가 당뇨병을 겪지 않은 남성의 확률 $P(P^c)$ 계산 :
   • 분모 계산은 여사건의 확률 성질을 이용
   • $P(P^c)= 1-P(P) = 1 – \frac{312}{937} = \frac{625}{937}$
2. 부모 모두 당뇨병을 겪지 않았으나 당뇨병으로 사망한 남성의 확률 $P(D \cap P^c)$계산:
   • 분자는 확률의 덧셈 정리 및 차집합의 성질을 이용
   • $P(D \cap P^c) = P(D) – P(D \cap P) = \frac{210}{937} – \frac{102}{937} = \frac{108}{937}$
3. 조건부 확률 $P(D|P^c)$ 계산:
   • $P(D|P^c) = \frac{P(D \cap P^c)}{P(P^c)} = \frac{108}{625} \approx 0.1728$

따라서, 부모 모두 당뇨병을 겪지 않은 상황에서 남성이 당뇨병 관련 합병증으로 사망할 조건부 확률은 약 0.173 (17.3%)입니다.