[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대 생산량 계산 연습문제: 제조 공정의 일일 생산량 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대 생산량 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 제조 공정의 일일 생산량 분석

한 회사의 일일 생산량은 $Y$ 라는 연속적이고 양의 랜덤 변수에 의해 모델링됩니다. 이 랜덤 변수의 확률 밀도 함수는 $(2 + y)^{-3} $에 비례하며, $0 < y < \infty$ 의 범위를 가집니다. 회사의 예상 일일 생산량을 계산하시오.

문제 풀이

1. 확률 밀도 함수 정규화:
확률 밀도 함수가 $ f(y) = k(2 + y)^{-3} $일 때, $ k $를 구합니다.

$\int_0^\infty k(2 + y)^{-3} \, dy = 1$

2. 적분 계산:

$k \int_0^\infty (2 + y)^{-3} \, dy = 1$

$\int_0^\infty (2 + y)^{-3} \, dy = \int_2^\infty u^{-3} \, du = \left[ \frac{u^{-2}}{-2} \right]_2^\infty = 0 – \left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8}$

$k \cdot \frac{1}{8} = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 8$

따라서, $f(y) = 8(2 + y)^{-3} $입니다.

3. 기대값 계산:

$E[Y] = \int_0^\infty y f(y) \, dy = \int_0^\infty y \cdot 8(2 + y)^{-3} \, dy$

치환 $u = 2 + y$ 를 사용하여 적분을 계산합니다.

$\int_0^\infty y \cdot 8(2 + y)^{-3} \, dy = 8 \int_2^\infty (u – 2) u^{-3} \, du$

$= 8 \left( \int_2^\infty u^{-2} \, du – 2 \int_2^\infty u^{-3} \, du \right)$

$= 8 \left( \left[ -u^{-1} \right]_2^\infty – 2 \left[ -\frac{u^{-2}}{2} \right]_2^\infty \right)$

$= 8 \left( 0 – (-\frac{1}{2}) – 2 \left( 0 – (-\frac{1}{8}) \right) \right)$

$= 8 \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{4} \right) = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$

정답은 2입니다.