[해설] 야외 촬영 보험 연습문제: 강풍으로 연기된 촬영일에 대한 보험 지급 금액 Y의 표준편차 계산

안녕하세요! 야외 촬영 보험 연습문제 해설입니다.

문제:강풍으로 연기된 촬영일에 대한 보험 지급 금액 Y의 표준편차 계산

한 영화 제작사가 10월 1일에 중요한 야외 촬영을 계획하고 있습니다. 만약 10월 1일에 강풍이 분다면, 촬영은 연기되며 강풍이 없는 다음 날에 촬영이 진행됩니다. 제작사는 강풍에 대한 보험을 가입했습니다. 이 보험은 촬영이 연기되는 각 날에 대해 최대 3일까지 하루에 2000을 지급합니다.

보험 회사는 10월 1일부터 시작되는 연속적인 강풍이 부는 날 수가 평균 0.8인 포아송 (random variable) 변수라고 결정했습니다.

보험 회사가 지급해야 할 금액의 표준 편차를 계산하세요.(소수 첫째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1.기대값 $E[Y]$ :

$E[Y] = 2000 \cdot P(N = 1) + 4000 \cdot P(N > 1)$

• $ P(N = 1) = e^{-0.8} \cdot 0.8 $
• $ P(N > 1) = 1 – P(N = 0) – P(N = 1) $
• $ P(N = 0) = e^{-0.8} $

계산하면:

• $e^{-0.8} \approx 0.4493$
• $P(N = 1) = 0.4493 \cdot 0.8 = 0.3594$
• $P(N > 1) = 1 – 0.4493 – 0.3594 = 0.1913$

2. 기대 제곱값 $E[Y^2]$:

$E[Y^2] = 2000^2 \cdot P(N = 1) + 4000^2 \cdot P(N > 1)$

3. 분산 $\text{Var}(Y)$:

$\text{Var}(Y) = E[Y^2] – (E[Y])^2$

이를 바탕으로 실제 값을 계산한 결과는 다음과 같습니다:

1. 기대값 계산:

$E[Y] = 2000 \cdot 0.3594 + 4000 \cdot 0.1913 = 718.8 + 765.2 = 1484$

2. 기대 제곱값 계산:

$E[Y^2] = 2000^2 \cdot 0.3594 + 4000^2 \cdot 0.1913 = 4000000 \cdot 0.3594 + 16000000 \cdot 0.1913 = 1437600 + 3060800 = 4498400$

3. 분산 계산:

$\text{Var}(Y) = 4498400 – 1484^2 = 4498400 – 2207056 = 2291344$

4. 표준편차 계산:

$\text{SD}(Y) = \sqrt{\text{Var}(Y)} = \sqrt{2291344} \approx 1513.7$

따라서, 보험 회사가 지급해야 할 금액의 표준 편차는 약 $1514$입니다.