[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제: 고객 평균 주문 금액의 공제액 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:고객 평균 주문 금액의 공제액 분석

한 전자 상거래 사이트는 고객의 평균 주문 금액을 분석합니다. 무작위로 선택된 주문 금액 $X$는 공제액 $C$가 적용되며, $0 < C < 1$입니다. 주문 금액은 확률 밀도 함수 $f(x)$를 가지는 연속 확률 변수로 모델링됩니다:

$f(x) =\begin{cases}2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{ohterwise}\end{cases}$

무작위 주문 금액 $X$가 주어졌을 때, 고객이 지불하는 금액이 0.5 미만일 확률이 0.64입니다. $C$를 계산하세요.

문제 풀이

1.확률 밀도 함수의 정규화 확인:

주어진 확률 밀도 함수 $f(x)$가 올바른지 확인하기 위해 $(0 < x < 1)$ 구간에서 적분 값이 1인지 확인합니다.

• $\int_0^1 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1$

따라서 주어진 함수는 올바른 확률 밀도 함수입니다.

2. 고객이 지불하는 금액이 0.5 미만인 경우:

고객이 지불하는 금액이 0.5 미만인 경우는 $(X – C < 0.5)$입니다. 즉, $(X < C + 0.5)$입니다. $(C)$와 $(X)$의 값이 $(0 < C < 1)$에서 정의되므로 $(C + 0.5 \leq 1)$입니다. 주어진 조건에 따라 $P(X < C + 0.5) = 0.64$입니다. 이 식을 이용하여 $(C)$를 계산합니다.

• $P(X < C + 0.5) = \int_0^{C+0.5} 2x \, dx$

적분을 계산하면:

• $\int_0^{C+0.5} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_0^{C+0.5} = (C+0.5)^2$

주어진 조건에 따라:

• $(C+0.5)^2 = 0.64$

양변에 제곱근을 취하면:

• $C + 0.5 = \sqrt{0.64} = 0.8$

따라서,

• $C = 0.8 – 0.5 = 0.3$
  

따라서, 정답은 0.3입니다.