[해설] 온라인 설문조사 분석: 직원이 답을 알고 있을 확률 계산

안녕하세요! 온라인 설문조사 분석 해설입니다.

문제:직원이 답을 알고 있을 확률 계산

한 회사의 직원들이 25개의 질문이 있는 온라인 설문조사에 참여합니다. 직원들은 $N$개의 질문의 답을 알고 있으며, 나머지 질문들은 추측하여 답합니다. 직원이 질문에 올바르게 답했을 때, 그 질문의 답을 알고 있을 조건부 확률이 0.80입니다.

$N$을 계산하세요.

문제 풀이

• $(N)$: 직원들이 답을 알고 있는 질문의 수
• $(P(K))$: 직원이 답을 알고 있는 질문을 맞출 확률
• $(P(G))$: 직원이 추측으로 질문을 맞출 확률 (추측할 경우 정답일 확률은 0.5)
• $(P(C))$: 직원이 질문에 올바르게 답할 전체 확률
• $(P(K|C))$: 질문에 올바르게 답했을 때 직원이 그 질문의 답을 알고 있을 확률

주어진 조건

• $P(K|C) = 0.80$

확률 계산

1. 직원이 질문에 올바르게 답할 전체 확률 $(P(C))$:

• $P(C) = P(K) \cdot \frac{N}{25} + P(G) \cdot \frac{25-N}{25}$

여기서 $(P(K) = 1)$ (직원이 답을 알고 있을 때 맞출 확률)이고, $(P(G) = 0.5)$(직원이 추측할 때 맞출 확률)이므로:

• $P(C) = \frac{N}{25} + 0.5 \cdot \frac{25-N}{25} = \frac{N}{25} + \frac{12.5 – 0.5N}{25} = \frac{N + 12.5 – 0.5N}{25} = \frac{0.5N + 12.5}{25}$

2. 질문에 올바르게 답했을 때 직원이 그 질문의 답을 알고 있을 확률 $(P(K|C))$:

• $P(K|C) = \frac{P(C|K) \cdot P(K)}{P(C)}$

여기서 $(P(C|K) = 1)$ (직원이 답을 알고 있을 때 질문에 올바르게 답할 확률)이고, $(P(K) = \frac{N}{25})$이므로:

• $0.80 = \frac{1 \cdot \frac{N}{25}}{\frac{0.5N + 12.5}{25}} = \frac{N}{0.5N + 12.5}$

3. 방정식을 풀어서 $(N)$을 구합니다:

• $0.80 (0.5N + 12.5) = N$
  
  $0.40N + 10 = N$
  
  $10 = N – 0.40N$
  
  $10 = 0.60N$

• $N = \frac{10}{0.60} = \frac{100}{6} \approx 16.67$

따라서 직원들이 답을 알고 있는 질문의 수 $N$은 약 17개입니다.