[해설] 소프트웨어 버그 비율 분석: X/(1-X) 분산 계산

안녕하세요! 소프트웨어 버그 비율 분석 해설입니다.

문제:X/(1-X) 분산 계산

연간 소프트웨어 버그 비율 $(X)$가 100을 초과하는 비율의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

$f(x) = \begin{cases} 40x^2(1 – x)^3, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 $( X )$가 $( \frac{X}{1-X} )$인 변수의 분산을 계산하세요.

문제 풀이

$(Y )$의 기대값 $( E[Y] $)와 $( E[Y^2] )$를 계산한 후, $( \text{Var}(Y) = E[Y^2] – (E[Y])^2 )$을 사용하여 분산을 구합니다.

1. $( E[Y] )$ 계산

• $E[Y] = E\left[\frac{X}{1-X}\right] = \int_0^1 \frac{x}{1-x} f(x) \, dx$
  
  $= \int_0^1 \frac{x}{1-x} \cdot 40x^2(1-x)^3 \, dx$
  
  $= 40 \int_0^1 \frac{x^3 (1-x)^3}{1-x} \, dx$
  
  $= 40 \int_0^1 x^3 (1-x)^2 \, dx$
  
  $= 40 \left[ \int_0^1 x^3 \, dx – 2 \int_0^1 x^3 x \, dx + \int_0^1 x^3 x^2 \, dx \right]$
  
  $= 40 \left[ \int_0^1 x^3 \, dx – 2 \int_0^1 x^4 \, dx + \int_0^1 x^5 \, dx \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{1}{4} – 2 \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{15}{60} – \frac{24}{60} + \frac{10}{60} \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{15 – 24 + 10}{60} \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{1}{60} \right]$
  
  $= \frac{2}{3}$

2. $E[Y^2]$ 계산

• $E[Y^2] = E\left[\left(\frac{X}{1-X}\right)^2\right] = \int_0^1 \left(\frac{x}{1-x}\right)^2 f(x) \, dx$
  
  $= \int_0^1 \frac{x^2}{(1-x)^2} \cdot 40x^2(1-x)^3 \, dx$
  
  $= 40 \int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^3}{(1-x)^2} \, dx$
  
  $= 40 \int_0^1 x^4 (1-x) \, dx$
  
  $= 40 \left[ \int_0^1 x^4 \, dx – \int_0^1 x^4 x \, dx \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{1}{5} – \frac{1}{6} \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{6}{30} – \frac{5}{30} \right]$
  
  $= 40 \left[ \frac{1}{30} \right]$
  
  $= \frac{4}{3}$

3. 분산 계산

• $\text{Var}(Y) = E[Y^2] – (E[Y])^2$
  
  $= \frac{4}{3} – \left( \frac{2}{3} \right)^2$
  
  $= \frac{4}{3} – \frac{4}{9}$
  
  $= \frac{12}{9} – \frac{4}{9}$
  
  $= \frac{8}{9}$

정답

따라서, $\text{Var}\left(\frac{X}{1-X}\right)$ 는 $\frac{8}{9}$ 입니다.