[해설] 인터넷 서비스 요청 예측 연습문제: 서비스 요청 건수 확률 계산

안녕하세요! 인터넷 서비스 요청 예측 연습문제 해설입니다.

문제:서비스 요청 건수 확률 계산

한 통신 회사는 1500개의 인터넷 서비스 계약을 발행합니다. 한 명의 사용자가 1년 동안 발생시키는 서비스 요청 건수는 평균이 3인 포아송 랜덤 변수입니다. 서로 다른 사용자가 발생시키는 서비스 요청 건수는 상호 독립적이라고 가정합니다.

1년 동안 총 서비스 요청 건수가 4400에서 4700 사이일 확률을 근사적으로 계산하세요.

문제 풀이

• 각 사용자의 서비스 요청 건수는 평균이 3인 포아송 분포를 따릅니다.
• 1500명의 사용자가 있습니다.

따라서 총 서비스 요청 건수 ($N$) 는 다음과 같은 포아송 분포를 따릅니다:

$N \sim \text{Poisson}(\lambda), \quad \lambda = 1500 \times 3 = 4500$

총 서비스 요청 건수 ($N$)는 평균 ($\lambda = 4500$)의 포아송 분포를 따릅니다. 포아송 분포는 큰 ($\lambda$) 값에서 정규 분포로 근사할 수 있습니다.

정규 분포로 근사하면:

$N \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), \quad \mu = \lambda = 4500, \quad \sigma^2 = \lambda = 4500, \quad \sigma = \sqrt{4500} \approx 67.08$

따라서 총 서비스 요청 건수 $N$는 평균이 4500이고 표준 편차가 약 67.08인 정규 분포로 근사할 수 있습니다:

$N \sim \mathcal{N}(4500, 67.08^2)$

이제, 총 서비스 요청 건수가 4400에서 4700 사이일 확률을 구합니다. 정규 분포를 사용하여 Z-값을 계산합니다:

$P(4400 \leq N \leq 4700) = P\left(\frac{4400 – 4500}{67.08} \leq Z \leq \frac{4700 – 4500}{67.08}\right)$

$P(-1.49 \leq Z \leq 2.99)$

표준 정규 분포표를 사용하여 이 확률을 찾습니다.

$P(Z \leq -1.49) \approx 0.0681, \quad P(Z \leq 2.99) \approx 0.9986$

따라서,

$P(-1.49 \leq Z \leq 2.99) = P(Z \leq 2.99) – P(Z \leq -1.49) = 0.9986 – 0.0681 = 0.9305$

따라서, 1년 동안 총 서비스 요청 건수가 4400에서 4700 사이일 확률은 약 0.93 입니다.