[해설] 독립적 확률변수의 합을 이용한 확률 계산 연습문제: 주간 사이버 공격 건수 분석

안녕하세요! 독립적 확률변수의 합을 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:독립적 확률변수의 합을 이용한 확률 계산 연습문제

한 컴퓨터 네트워크 보안 회사는 일주일 동안 감지된 사이버 공격의 건수 $( N )$을 분석합니다. 회사 데이터에 따르면, 주어진 주에 $( n )$ 건의 사이버 공격이 감지될 확률이 $P[N = n] = \frac{1}{2^{n+1}} $로 주어집니다. 여기서 $( n )$은 0 이상의 정수입니다. 또한, 각 주의 사이버 공격 건수는 독립적이라고 가정합니다.

이 정보를 사용하여 연속된 두 주 동안 정확히 일곱 건의 사이버 공격이 감지될 확률을 계산하세요.

문제 정보 요약

• 각 주에 감지된 사이버 공격의 건수 $( N )$은 $( \frac{1}{2^{n+1}} )$의 확률로 발생합니다.
• 건수가 증가할수록 발생 확률이 절반씩 감소합니다.

문제 풀이

$( N_1 )$과 $( N_2 )$를 각각 첫 번째와 두 번째 주의 사이버 공격 건수라고 합니다. 이 두 확률 변수의 합 $( N_1 + N_2 )$가 7이 되는 확률을 구해야 합니다.

두 확률 변수가 독립적이므로, $N_1 + N_2 = 7$ 의 확률은 각 경우의 확률을 곱하여 계산할 수 있습니다.

• $P(N_1 + N_2 = 7) = \sum_{k=0}^{7} P(N_1 = k) \times P(N_2 = 7-k)$

여기서,

• $P(N_1 = k) = \frac{1}{2^{k+1}}, \quad P(N_2 = 7-k) = \frac{1}{2^{(7-k)+1}}$
• $P(N_1 + N_2 = 7) = \sum_{k=0}^{7} \frac{1}{2^{k+1}} \times \frac{1}{2^{(7-k)+1}}$
• $= \sum_{k=0}^{7} \frac{1}{2^{9}} = 8 \times \frac{1}{512} = \frac{8}{512} = \frac{1}{64}$

따라서 연속된 두 주 동안 정확히 일곱 건의 사이버 공격이 감지될 확률은 1/64 입니다.