[해설] 포함-배제 원리를 이용한 확률 계산 연습문제 : 헬스장 (피트니스 센터) 회원 분석

글쓴이:Issac Lee 마지막 수정일:

안녕하세요! 포함-배제 원리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제

어느 대형 피트니스 센터의 전체 회원은 총 15,000명입니다. 회원들은 연령(20대/그 외), 성별(남성/여성), 등록 기간(1년 이상 장기/1년 미만 단기)으로 구분됩니다.

  • 기본 통계: 20대 회원은 4,500명, 남성 회원은 8,000명, 1년 이상 장기 회원은 10,000명입니다.

세부적으로 살펴보면, 20대인 남성은 2,000명이고, 남성 중에서 장기 회원은 6,500명입니다. 또한 20대이면서 장기 회원인 사람은 2,200명으로 집계되었습니다. 마지막으로 이 세 가지 조건을 모두 충족하는 20대 남성 장기 회원은 총 900명입니다.

이 데이터를 바탕으로, 20대 여성이면서 1년 미만(단기) 회원인 사람은 몇 명인지 계산하세요.

문제 풀이: 집합의 연산을 이용한 풀이

1단계: 의미 있는 알파벳으로 집합 정의하기

주어진 조건을 다음과 같이 직관적인 변수(Variable)로 설정합니다.

  • $Y$ (Young): 20대 회원 (4,500명)
  • $M$ (Male): 남성 회원 (8,000명)
  • $L$ (Long-term): 장기 회원 (10,000명)

문제에서 주어진 교집합(중복) 데이터는 다음과 같이 표현됩니다.

  • $Y \cap M$ (20대 $\cap$ 남성): 2,000명
  • $M \cap L$ (남성 $\cap$ 장기): 6,500명
  • $Y \cap L$ (20대 $\cap$ 장기): 2,200명
  • $Y \cap M \cap L$ (세 가지 모두 해당): 900명

2단계: 우리가 구해야 할 목표 확인

문제의 질문은 “20대이면서($Y$), 여성이고(남성이 아님, $M^c$), 단기 회원(장기가 아님, $L^c$)”인 사람의 수입니다. 즉, 20대 집합 $Y$ 안에는 포함되지만, 남성($M$)도 아니고 장기 회원($L$)도 아닌 순수한 $Y$만의 영역을 구해야 합니다.

n(Y∩Mc∩Lc)n(Y \cap M^c \cap L^c)
image 5

3단계: 계산 (포함-배제의 원리 활용)

벤 다이어그램을 머릿속으로 그려보죠. 전체 20대($Y$) 그룹에서 남성($M$)과 겹치는 부분, 그리고 장기($L$)와 겹치는 부분을 덜어내면 됩니다. 이때 주의할 점은, 단순히 빼기만 하면 세 집합이 모두 겹치는 가운데 부분($Y \cap M \cap L$)이 두 번 빠지게 된다는 것입니다. 따라서 마지막에 한 번은 다시 더해주어야 정확한 계산이 됩니다.

n(Y only)=n(Y)−n(Y∩M)−n(Y∩L)+n(Y∩M∩L)n(Y \text{ only}) = n(Y) – n(Y \cap M) – n(Y \cap L) + n(Y \cap M \cap L)

숫자 대입:

  1. 전체 20대 ($Y$): 4,500명
  2. (-) 20대 남성 ($Y \cap M$): -2,000명
  3. (-) 20대 장기 ($Y \cap L$): -2,200명
  4. (+) 20대 장기 남성 ($Y \cap M \cap L$): +900명 (중복 차감 보정)

계산해보면 다음과 같습니다.

4,500−2,000−2,200+900=2,500−2,200+900=300+900=𝟏,𝟐𝟎𝟎\begin{aligned} & 4,500 – 2,000 – 2,200 + 900 \ &= 2,500 – 2,200 + 900 \ &= 300 + 900 \ &= \mathbf{1,200} \end{aligned}

조건을 만족하는 20대 여성 단기 회원은 총 1,200명입니다.

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