[해설] 보험 정책의 수정 후 분산 계산 연습문제: 변경된 분산 계산

안녕하세요! 보험 정책의 수정 후 분산 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 변경된 분산 계산

한 보험 정책은 각 청구에 대해 두 부분으로 구성된 총 의료 혜택을 지불합니다. $A$ 는 의사에게 지불되는 혜택의 부분을 나타내고,$ B$ 는 병원에 지불되는 부분을 나타냅니다. $A$ 의 분산은 8000이고, $B$ 의 분산은 12000이며, 총 혜택 $A + B$ 의 분산은 24000입니다.

의료 비용 증가로 인해, 보험 회사는 청구 당$ A$ 를 150만큼 증가시키고, 청구 당 $B$ 를 15% 증가시키기로 결정했습니다.

이러한 수정 후 총 혜택의 분산을 계산하세요.

문제 풀이

1. 변수 변환

• $A$는 150만큼 증가: 새로운 변수 $( A’ = A + 150 )$
• $B$는 15% 증가: 새로운 변수 $( B’ = 1.15B )$

2. 분산의 성질

• 상수의 추가: 분산에는 영향을 미치지 않습니다.
• 따라서, $\text{Var}(A + 150) = \text{Var}(A) = 8000 $
• 상수의 곱: $\text{Var}(aB) = a^2 \text{Var}(B) $
• 따라서, $\text{Var}(1.15B) = (1.15)^2 \text{Var}(B) = 1.3225 \times 12000 = 15870$

3. 총 혜택의 분산 계산

• 수정 후 총 혜택 $ A’ + B’ $
• $ A’ + B’ = (A + 150) + 1.15B = A + 1.15B + 150 $
• 상수의 추가는 분산에 영향을 미치지 않으므로,
  $ \text{Var}(A + 1.15B + 150) = \text{Var}(A + 1.15B) $
• $ \text{Var}(A + 1.15B)$를 계산합니다.
• $A$ 와 $B$ 는 독립적이라고 가정합니다. 따라서:
  $\text{Var}(A + 1.15B) = \text{Var}(A) + \text{Var}(1.15B) + 2\text{Cov}(A, 1.15B)$

4. 공분산 계산

• $\text{Var}(A + B) = \text{Var}(A) + \text{Var}(B) + 2\text{Cov}(A, B)$
• $24000 = 8000 + 12000 + 2\text{Cov}(A, B)$
• $24000 = 20000 + 2\text{Cov}(A, B)$
• $4000 = 2\text{Cov}(A, B)$
• $\text{Cov}(A, B) = 2000$

5. 최종 분산 계산

• $\text{Cov}(A, 1.15B) = 1.15 \times \text{Cov}(A, B) = 1.15 \times 2000 = 2300$
• $\text{Var}(A + 1.15B) = 8000 + 15870 + 2 \times 2300$
• $\text{Var}(A + 1.15B) = 8000 + 15870 + 4600$
• $\text{Var}(A + 1.15B) = 28470$

따라서, 수정된 총 혜택의 분산은 28470입니다.