[해설] 품질 검사 결과 예측: 조건부 확률과 분산 계산

안녕하세요! 품질 검사 결과 예측 해설입니다.

문제: 조건부 확률과 분산 계산

어떤 제품의 품질 검사는 두 가지 가능한 결과를 가질 수 있습니다: 1은 불량, 0은 양품을 나타냅니다. $X$는 제품의 실제 상태(0 또는 1)를 나타내고, $Y$는 품질 검사 결과를 나타냅니다. $X$와 $Y$의 결합 확률 함수는 다음과 같습니다:

$$P[X = 0, Y = 0] &= 0.750 , P[X = 1, Y = 0] &= 0.100 $$

$$P[X = 0, Y = 1] &= 0.050 , P[X = 1, Y = 1] &= 0.100 $$

$X = 1$ 일 때 $\text{Var}(Y | X = 1)$ 를 계산하십시오.

문제 풀이

• $P[Y = 0 | X = 1] = \frac{P(X = 1, Y = 0)}{P(X = 1)} = \frac{P(X = 1, Y = 0)}{P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)}$
• $= \frac{0.100}{0.100 + 0.100} = \frac{0.100}{0.200} = 0.50$

• $P[Y = 1 | X = 1] = 1 – 0.50 = 0.50$

$Y$는 두 가지 가능한 결과(0 또는 1)만을 가지는 이산 확률 변수입니다. 따라서 조건부 변수 ($Y | X = 1$)는 $p = 0.50$인 베르누이 분포를 따릅니다.

분산은 다음과 같습니다:

• $\text{Var}(Y | X = 1) = p(1 – p) = 0.50(1 – 0.50) = 0.50 \times 0.50 = 0.25$

따라서, $\text{Var}(Y | X = 1) = 0.25$입니다.