[해설] 교집합이 있는 확률 계산 연습문제: TV 시청 습관 분석

안녕하세요! 교집합이 있는 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제: TV 시청 습관 분석

한 조사에서, 특정 도시의 시민들을 대상으로 텔레비전 프로그램 시청 습관에 대한 조사가 있었습니다. 조사 결과는 다음과 같습니다.

• 45%의 사람들이 드라마를 시청했습니다.
• 40%의 사람들이 예능 프로그램을 시청했습니다.
• 35%의 사람들이 뉴스를 시청했습니다.
• 25%의 사람들이 드라마와 예능 프로그램을 모두 시청했습니다.
• 20%의 사람들이 예능 프로그램과 뉴스를 모두 시청했습니다.
• 15%의 사람들이 드라마와 뉴스를 모두 시청했습니다.
• 10%의 사람들이 세 종류의 프로그램을 모두 시청했습니다.

지난 해 동안 이 도시의 시민 중 어느 프로그램도 시청하지 않은 사람들의 비율을 계산하세요.

풀이

• 각 집합의 크기를 정의합니다.
  • $D$: 드라마를 시청한 사람들 $(45\%)$
  • $E $: 예능 프로그램을 시청한 사람들 $(40\%)$
  • $N$ : 뉴스를 시청한 사람들 $(35\%)$
  
• 교집합의 크기를 정의합니다.
  • $D \cap E$ : 드라마와 예능 프로그램을 모두 시청한 사람들 $(25\%)$
  • $E \cap N$ : 예능 프로그램과 뉴스를 모두 시청한 사람들 $(20\%)$
  • $D \cap N$ : 드라마와 뉴스를 모두 시청한 사람들 $(15\%)$
  • $D \cap E \cap N$ : 세 종류의 프로그램을 모두 시청한 사람들 $(10\%)$

포함-배제 원리를 사용하여 적어도 하나의 프로그램을 시청한 사람들의 비율을 계산합니다.

$$
|D \cup E \cup N| = |D| + |E| + |N| – |D \cap E| – |E \cap N| – |D \cap N| + |D \cap E \cap N|
$$

수치를 대입하면:

$$
|D \cup E \cup N| = 45 + 40 + 35 – 25 – 20 – 15 + 10 = 70
$$

따라서, 적어도 하나의 프로그램을 시청한 사람들의 비율은 $70\%$입니다.

어느 프로그램도 시청하지 않은 사람들의 비율은 다음과 같습니다:

$$
100\% – 70\% = 30\%
$$

따라서, 이 도시의 시민 중 어느 프로그램도 시청하지 않은 사람들의 비율은 $30\%$입니다.