[해설] 주택 보험 분석: 화재 사고로 인한 보험사 지급액의 95번째 백분위수 계산

안녕하세요! 주택 보험 분석 해설입니다.

문제:화재 사고로 인한 보험사 지급액의 95번째 백분위수 계산

한 비즈니스맨이 4번의 투자 기회를 가지며, 각각의 투자 기회는 독립적으로 0.20의 확률로 손실을 초래합니다.

각 손실은 평균 1.50의 지수 분포를 따릅니다. 손실은 서로 독립적이며 투자 기회의 수와도 독립적입니다.

보험사는 각 손실의 60%를 보상합니다.

비즈니스맨이 이러한 투자 기회로 인해 발생한 총 미보상 손실의 분산을 계산하세요.

문제 풀이

1. 사고가 발생하는 경우: 화재 사고가 발생하면 95번째 백분위수가 해당 범위에 포함됩니다.

2. 화재 사고가 발생할 확률은 0.15이므로, 사고가 발생했을 때의 지급액의 95번째 백분위수를 구하기 위해 다음 계산을 수행합니다:

• $\frac{0.95 – 0.85}{1 – 0.85} = \frac{0.10}{0.15} \approx 0.6667$

이 값은 사고가 발생했을 때의 지급액의 66.67번째 백분위수에 해당합니다.
3. 지수 분포의 66.67번째 백분위수 구하기: 평균이 5000인 지수 분포에서 66.67번째 백분위수를 구합니다. 지수 분포의 누적 분포 함수는:

• $F(x) = 1 – e^{-x/5000}$

따라서, 66.67번째 백분위수는 다음과 같습니다:

• $F(x) = 0.6667 \Rightarrow 1 – e^{-x/5000} = 0.6667 \Rightarrow $
  $e^{-x/5000} = 0.3333 \Rightarrow -\frac{x}{5000} = \ln(0.3333) \Rightarrow x = -5000 \ln(0.3333)$

계산하면:

• $x = -5000 \ln(0.3333) \approx -5000 \times (-1.0986) \approx 5493$

4. 공제액 적용: 공제액 1000을 차감합니다:

$5493 – 1000 = 4493$

따라서, 이 주택 보험에서 보험 회사의 지급액의 95번째 백분위수는 4493입니다