[해설] 수학 시험 분석: 무작위로 선택된 학생이 레벨 1에 있을 확률 계산

안녕하세요! 수학 시험 분석 해설입니다.

문제:무작위로 선택된 학생이 레벨 1에 있을 확률 계산

어떤 그룹의 학생들이 5개의 레벨로 나누어진 수학 시험을 보았습니다:(레벨 0, 레벨 1, 레벨 2, 레벨 3, 레벨 4).

1. 그룹의 60%가 레벨 2 이하입니다.
2. 그룹의 70%가 레벨 1 이상입니다.
3. 그룹의 85%가 레벨 0, 1, 3 또는 4입니다.

한 명의 학생을 무작위로 선택할 때, 그 학생이 레벨 1에 있을 확률을 계산하세요.

문제 풀이

각 레벨의 확률을 다음과 같이 정의합니다:

• $P_0$ : 레벨 0에 있을 확률
• $P_1$ : 레벨 1에 있을 확률
• $P_2$ : 레벨 2에 있을 확률
• $P_3$ : 레벨 3에 있을 확률
• $P_4$ : 레벨 4에 있을 확률

주어진 정보

1. $P_0 + P_1 + P_2 = 0.60$
2. $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 0.70$
3. $P_0 + P_1 + P_3 + P_4 = 0.85$

전체 확률은 1입니다:

• $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1$

두 번째와 세 번째 식을 빼면:

• $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4) – (P_0 + P_1 + P_3 + P_4) = 0.70 – 0.85$
  $P_2 – P_0 = -0.15$

즉, $P_2 = P_0 – 0.15$

이를 첫 번째 식에 대입하면:

• $P_0 + P_1 + (P_0 – 0.15) = 0.60$
  $2P_0 + P_1 – 0.15 = 0.60$
  $2P_0 + P_1 = 0.75$

네 번째 식과 함께 사용하면:

• $P_0 + P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1$
  $P_0 + P_1 + (P_0 – 0.15) + P_3 + P_4 = 1$
  $2P_0 + P_1 + P_3 + P_4 – 0.15 = 1$
  $2P_0 + P_1 + P_3 + P_4 = 1.15$

여기서 $P_3$ + $P_4$ 를 찾아보겠습니다.

네 번째 조건에서:

• $P_3 + P_4 = 0.70 – (P_1 + P_2)$
  $P_3 + P_4 = 0.70 – P_1 – (P_0 – 0.15)$
  $P_3 + P_4 = 0.70 – P_1 – P_0 + 0.15$
  $P_3 + P_4 = 0.85 – P_1 – P_0$

이를 마지막 식에 대입하면:

• $2P_0 + P_1 + 0.85 – P_1 – P_0 = 1.15$
  $P_0 = 0.30$

따라서,

• $P_2 = P_0 – 0.15 = 0.30 – 0.15 = 0.15$

이 값을 첫 번째 식에 대입하면:

• $0.30 + P_1 + 0.15 = 0.60$
  $P_1 = 0.15$

따라서.

• $P_0 = 0.30$
  $P_1 = 0.15$
  $P_2 = 0.15$
  $P_3 + P_4 = 0.85 – 0.15 – 0.30 = 0.40$

전체 합은:

• $0.30 + 0.15 + 0.15 + 0.40 = 1$

따라서, 무작위로 선택된 학생이 레벨 1에 있을 확률은 0.15 입니다.