[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대 유지보수 비용 계산 연습문제: 기계 유지보수 비용의 공제액 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대 유지보수 비용 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 기계 유지보수 비용의 공제액 분석

한 회사의 연간 기계 유지보수 비용 $Y$는 $[0, 1500]$ 구간에서 균등 분포를 가집니다. 이 회사는 유지보수 비용이 $d$ 이하일 경우 비용을 자체 부담하고, $d$ 를 초과하는 경우에 대해서만 보험금을 청구합니다. 보험금 지급 예상액은 공제액이 없을 경우 예상 지급액의 $40\%$입니다. 공제액 $d$ 를 계산하시오.

문제 풀이

1.기본 사항:
$ Y \sim U[0, 1500] $, 즉 균등 분포를 가집니다.
공제액 $ d $가 있습니다.
공제액이 없을 경우의 예상 지급액의 $40\%$만큼 지급됩니다.

2. 공제액이 없는 경우의 예상 지급액:

$E[Y] = \frac{a + b}{2} = \frac{0 + 1500}{2} = 750$

3. 공제액이 있는 경우의 예상 지급액:

공제액 $ d $가 있는 경우, $ Y $가 $d$ 보다 클 때만 보험금이 지급되며, 이 때 지급액은 $ Y – d $입니다.

$E[\max(Y – d, 0)]$

4. 기대값 계산:

$E[\max(Y – d, 0)] = \int_d^{1500} (y – d) \frac{1}{1500} \, dy$

$= \frac{1}{1500} \int_d^{1500} (y – d) \, dy$

$= \frac{1}{1500} \left[ \frac{(y – d)^2}{2} \right]_d^{1500}$

$= \frac{1}{1500} \left( \frac{(1500 – d)^2}{2} – 0 \right)$

$= \frac{(1500 – d)^2}{3000}$

5. 조건 적용:

공제액이 없을 때의 예상 지급액의 $40\%$는 $ 750 \times 0.4 = 300 $입니다.

$\frac{(1500 – d)^2}{3000} = 300$

6. 식 정리 및 $ d$ 계산:

$(1500 – d)^2 = 300 \times 3000$

$(1500 – d)^2 = 900000$

$1500 – d = \sqrt{900000}$

$1500 – d = 948.68$

$d = 1500 – 948.68$

$d \approx 551.23$

정답은 551 입니다.