[해설] 연간 손해액 예측: 조건부 확률과 지수 분포 계산

안녕하세요! 연간 손해액 예측 해설입니다.

문제:조건부 확률과 지수 분포 계산

어느 보험사의 연간 손해액 $( L )$은 다음과 같은 정보를 가지고 있습니다:

$P(N = 0) = \frac{1}{4}, \quad P(N = 1) = \frac{1}{2}, \quad P(N > 1) = \frac{1}{4}$

$( S )$는 피보험자의 연간 총 손해액을 나타냅니다. $( N = 1 )$일 때 $( S )$는 평균 6인 지수 분포를 따릅니다. $( N > 1 )$ 일 때 $( S )$는 평균 9인 지수 분포를 따릅니다.

$ P(5 < S < 10) $를 계산하십시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

전체 확률의 법칙을 사용하여,

• $P(5 < S < 10)$
• $= P(5 < S < 10 | N = 1)P(N = 1) + P(5 < S < 10 | N > 1)P(N > 1)$

지수 분포의 확률 밀도 함수를 사용하여 계산합니다. $( N = 1 )$일 때 $ S $의 평균이 6이므로,

• $P(5 < S < 10 | N = 1) = e^{-5/6} – e^{-10/6}$

$( N > 1 )$일 때 $S$ 의 평균이 9이므로,

• $P(5 < S < 10 | N > 1) = e^{-5/9} – e^{-10/9}$

전체 확률의 법칙을 적용하여,

• $P(5 < S < 10) = (e^{-5/6} – e^{-10/6}) \cdot \frac{1}{2} + (e^{-5/9} – e^{-10/9}) \cdot \frac{1}{4}$

이를 계산하면,

• $P(5 < S < 10) = (e^{-5/6} – e^{-10/6}) \cdot \frac{1}{2} + (e^{-5/9} – e^{-10/9}) \cdot \frac{1}{4}$

• $= (0.4346 – 0.2466) \cdot \frac{1}{2} + (0.5738 – 0.3855) \cdot \frac{1}{4}$

• $= 0.1880 \cdot \frac{1}{2} + 0.1883 \cdot \frac{1}{4}$

• $= 0.094 + 0.047 = 0.141$

따라서 정답은 0.14입니다.