[해설] 제품 생산 시간 예측 연습문제: 1000개 제품 총 생산 시간의 95번째 백분위수 계산

안녕하세요! 제품 생산 시간 예측 연습문제 해설입니다.

문제:1000개 제품 총 생산 시간의 95번째 백분위수 계산

한 제조업체는 1000개의 제품을 생산합니다. 각 제품의 생산 시간은 서로 독립적이며 동일한 분포를 따른다고 가정하며, 평균은 2.5시간이고 표준 편차는 0.5시간입니다.

총 생산 시간의 분포에서 대략적인 95번째 백분위수를 계산하세요.

문제 풀이

1.평균과 표준 편차 계산

각 제품의 생산 시간의 평균은 2.5시간이고 표준 편차는 0.5시간입니다. 1000개의 제품의 총 생산 시간에 대한 평균과 표준 편차는 다음과 같습니다:

• 총 생산 시간의 평균 $(\mu_T)$:
• $\mu_T = 1000 \times 2.5 = 2500$

• 총 생산 시간의 표준 편차 $(\sigma_T)$:
• $\sigma_T = \sqrt{1000} \times 0.5 = 31.62 \times 0.5 = 15.81$

2. 정규 분포 근사

중심 극한 정리에 따라 총 생산 시간의 합은 대략적으로 정규 분포를 따릅니다. 95번째 백분위수를 계산하기 위해 표준 정규 분포의 95번째 백분위수 $z_{0.95}$ 값을 이용합니다. 이는 약 1.645입니다.

3. 95번째 백분위수 계산

총 생산 시간의 분포에서 95번째 백분위수는 평균과 표준 편차를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$Q_{0.95} = \mu_T + z_{0.95} \times \sigma_T$

$Q_{0.95} = 2500 + 1.645 \times 15.81$

$Q_{0.95} = 2500 + 26.00 = 2526.00$

따라서 정답은 2526시간입니다.