[해설] 입원 일수 예측: 조건부 확률과 분산 계산

안녕하세요! 입원 일수 예측 해설입니다.

문제: 조건부 확률과 분산 계산

병원은 두 가지 유형의 환자의 입원 일수를 기록하고 있습니다. 유형 $A$와 유형 $B$ 환자의 연간 입원 일수는 다음과 같이 공동 분포를 가집니다:

유형 B 환자의 연간 입원 일수	0	1	2	3
유형 A 환자의 연간 입원 일수
0	0.10	0.08	0.05	0.02
1	0.12	0.20	0.10	0.03
2	0.05	0.10	0.08	0.05

유형 $A$ 환자의 입원 일수가 0일일 때, 유형 $B$ 환자의 연간 입원 일수의 조건부 분산 $(\text{Var}(B | A = 0))$를 계산하십시오.(소수 둘째 자리에서 반올림하세요.)

문제 풀이

유형 $A$ 환자의 입원 일수가 0일일 때, 유형 $B$ 환자의 입원 일수가 $0, 1, 2, 3$일인 경우의 확률은 각각 $0.10, 0.08, 0.05, 0.02$입니다. 이들의 합은 $0.10 + 0.08 + 0.05 + 0.02 = 0.25$입니다. 따라서, 조건부 확률은 다음과 같습니다:

• $P[B = 0 | A = 0] = \frac{0.10}{0.25} = 0.40$
• $P[B = 1 | A = 0] = \frac{0.08}{0.25} = 0.32$
• $P[B = 2 | A = 0] = \frac{0.05}{0.25} = 0.20$
• $P[B = 3 | A = 0] = \frac{0.02}{0.25} = 0.08$

$E[B | A = 0]$를 계산합니다:

• $E[B | A = 0] = 0 \cdot 0.40 + 1 \cdot 0.32 + 2 \cdot 0.20 + 3 \cdot 0.08$
• $= 0 + 0.32 + 0.40 + 0.24 = 0.96$

$E[B^2 | A = 0]$를 계산합니다:

• $E[B^2 | A = 0] = 0^2 \cdot 0.40 + 1^2 \cdot 0.32 + 2^2 \cdot 0.20 + 3^2 \cdot 0.08$
• $= 0 + 0.32 + 4 \cdot 0.20 + 9 \cdot 0.08 = 0 + 0.32 + 0.80 + 0.72 = 1.84$

$\text{Var}(B | A = 0)$은 다음과 같이 계산됩니다:

• $\text{Var}(B | A = 0) = E[B^2 | A = 0] – (E[B | A = 0])^2$
• $= 1.84 – (0.96)^2 = 1.84 – 0.9216 = 0.9184$

따라서, $\text{Var}(B | A = 0)$ 은 약 0.9 입니다.