[해설] 전자 기기 고장 분석: 손상 정도가 12를 초과할 확률 계산

안녕하세요! 전자 기기 고장 분석 해설입니다.

문제:손상 정도가 12를 초과할 확률 계산

어떤 전자 기기에서 발생하는 손상의 정도가 다음의 확률 밀도 함수로 모델링됩니다:

$f(x) = \begin{cases} k(x^2 – 30x + 400), & 0 < x < 20 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

여기서 $( k )$는 상수입니다.

특정 전자 기기는 보증금이 5입니다. 이 전자 기기가 고장 났을 때 보증금을 초과하는 손상의 경우, 손상 정도가 12를 초과할 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. $( k )$ 값 계산

확률 밀도 함수의 전체 면적은 1이어야 합니다. 따라서, $( k )$ 값을 찾기 위해 전체 구간에서 $( f(x) )$를 적분하고 이를 1로 설정합니다.

• $\int_{0}^{20} \frac{3}{14000}(x^2 – 30x + 400) \, dx = 1$

우선 $( x^2 – 30x + 400 )$의 부정적분을 구합니다:

• $\int (x^2 – 30x + 400) \, dx = \frac{x^3}{3} – 15x^2 + 400x$

이를 구간 ( 0 )에서 ( 20 )까지 정적분합니다:

• $\left[ \frac{x^3}{3} – 15x^2 + 400x \right]_0^{20} = \left( \frac{20^3}{3} – 15 \cdot 20^2 + 400 \cdot 20 \right) – \left( \frac{0^3}{3} – 15 \cdot 0^2 + 400 \cdot 0 \right)$

계산하면:

• $\left( \frac{8000}{3} – 6000 + 8000 \right) = \frac{8000 + 24000 – 18000}{3} = \frac{14000}{3}$

따라서 $( k )$ 값은 다음과 같습니다:

• $ \cdot \frac{14000}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{14000}$
  

2. 손상 정도가 12를 초과할 확률 계산

손상 정도가 12를 초과할 확률 $( P(X > 12) )$는 다음과 같습니다:

• $P(X > 12) = \int_{12}^{20} \frac{3}{14000}(x^2 – 30x + 400) \, dx$

다시 $( x^2 – 30x + 400 )$의 부정적분을 사용합니다:

• $\int (x^2 – 30x + 400) \, dx = \frac{x^3}{3} – 15x^2 + 400x$

이제 12에서 20까지 정적분을 계산합니다:

• $\left[ \frac{x^3}{3} – 15x^2 + 400x \right]_{12}^{20}$

먼저 $( x = 20 )$일 때 값을 구합니다:

• $\left( \frac{20^3}{3} – 15 \cdot 20^2 + 400 \cdot 20 \right) = \left( \frac{8000}{3} – 6000 + 8000 \right)$
  $= \left( \frac{8000 + 24000 – 18000}{3} \right) = \frac{14000}{3}$

다음으로 $( x = 12 )$일 때 값을 구합니다:

• $\left( \frac{12^3}{3} – 15 \cdot 12^2 + 400 \cdot 12 \right) = \left( \frac{1728}{3} – 15 \cdot 144 + 4800 \right)$
  $= \left( 576 – 2160 + 4800 \right) = 576 + 2640 = 3216$

따라서 적분 값은:

• $\left[ \frac{x^3}{3} – 15x^2 + 400x \right]_{12}^{20} = \frac{14000}{3} – 3216 = \frac{14000 – 9648}{3} = \frac{4052}{3}$

이 값을 $( f(x) )$에 적용하면:

• $P(X > 12) = \frac{3}{14000} \cdot \frac{4052}{3} = \frac{4052}{14000}$

확률 값을 소수점 셋째 자리에서 반올림하면:

• $\frac{4052}{14000} \approx 0.289$

따라서 손상 정도가 12를 초과할 확률은 약 0.29 입니다.