[해설] 확률 변수 분석: 누적 분포 함수에서 기대값 계산

안녕하세요! 확률 변수 분석 해설입니다.

문제:누적 분포 함수에서 기대값 계산

다음은 확률 변수 $Y$ 의 누적 분포 함수입니다. $Y$ 는 1에서 확률 0.3으로 점 질량(point mass)을 가지며, 3에서 5 사이에서는 연속적인 균등 분포를 가집니다.

이 확률 변수 $Y$ 의 기대값 $E(Y)$ 를 계산하세요.

문제 풀이

1. 1에서 점 질량 (point mass) 계산: $P(Y = 1) = 0.3$

2. 3에서 5 사이에서 연속적인 부분 계산:

• $g(y) = \frac{1}{5-3} = 0.5 \quad \text{for} \quad 3 \leq y \leq 5$

이 균등 분포의 기댓값은 구간의 중간값입니다.

• $E(Y | 3 \leq Y \leq 5) = \frac{3 + 5}{2} = 4$

3. 전체 기댓값 $E(Y)$ 계산:

• $E(Y) = P(Y = 1) \cdot 1 + P(3 \leq Y \leq 5) \cdot E(Y | 3 \leq Y \leq 5)$
  $= 0.3 \cdot 1 + 0.7 \cdot 4$
  $= 0.3 + 2.8$
  $= 3.1$

따라서, 확률 변수 $Y$ 의 기대값 $E(Y)$ 는 3.1입니다.