[해설] 포아송 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 20년 동안 기계 고장 횟수의 확률 분석

안녕하세요! 포아송 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:20년 동안 기계 고장 횟수의 확률 분석

공장은 기계의 고장 확률을 다음과 같은 가정을 사용하여 분석합니다:

1. 어떤 연도에도 최대 하나의 기계 고장만 발생할 수 있습니다.
2. 어떤 연도에도 기계 고장이 발생할 확률은 0.05입니다.
3. 서로 다른 연도의 기계 고장 수는 서로 독립적입니다.

회사의 가정을 사용하여 20년 기간 동안 기계 고장이 3번 미만으로 발생할 확률을 계산하세요.(소수점 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 포아송 분포 적용:

연간 기계 고장 확률이 0.05이고, 서로 다른 연도의 발생이 독립적이므로 20년 동안의 기계 고장 횟수는 포아송 분포를 따릅니다. 포아송 분포의 평균 $\lambda$는:

• $\lambda = 20 \times 0.05 = 1$

2.포아송 확률 질량 함수 (PMF): 포아송 분포에서 $k$번 발생할 확률은 다음과 같습니다:

• $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

3. 기계 고장이 3번 미만 발생할 확률 계산:

$(P(X < 3))는 (P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2))$로 계산됩니다.

• $P(X = 0) = \frac{e^{-1} 1^0}{0!} = e^{-1} \approx 0.3679$
• $P(X = 1) = \frac{e^{-1} 1^1}{1!} = e^{-1} \approx 0.3679$
• $P(X = 2) = \frac{e^{-1} 1^2}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.1839$

따라서, 기계 고장이 3번 미만 발생할 확률은:

• $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) $
• $= 0.3679 + 0.3679 + 0.1839 = 0.9197$
  

따라서, 정답은 $0.92$입니다.