[해설] 전확률 정리를 이용한 확률 계산 연습문제: 식료품 및 가전 제품 멤버십을 가진 고객의 갱신 확률 분석

안녕하세요! 전확률 정리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:식료품 및 가전 제품 멤버십을 가진 고객의 갱신 확률 분석

대형 슈퍼마켓 체인에서는 고객들이 두 가지 유형의 멤버십 카드를 가질 수 있습니다.하나는 식료품 멤버십, 다른 하나는 가전 제품 멤버십입니다. 회사 데이터에 따르면, 식료품 멤버십만 가진 고객의 40%가 내년에 멤버십을 갱신할 것으로 예상되며, 가전 제품 멤버십만 가진 고객의 60%가 갱신할 것으로 예상됩니다. 또한 두 멤버십을 모두 가진 고객의 경우 80%가 적어도 한 멤버십을 갱신할 것으로 보입니다.

슈퍼마켓의 기록에 따르면, 고객 중 65%가 식료품 멤버십을, 50%가 가전 제품 멤버십을 가지고 있으며, 15%의 고객이 두 멤버십을 모두 가지고 있습니다.

이 정보를 토대로 내년에 적어도 하나의 멤버십을 갱신할 고객의 비율을 계산하세요.

정의:

• G : 식료품 멤버십을 가진 고객
• E : 가전 제품 멤버십을 가진 고객

이 문제를 해결하기 위해 가장 중요한 단계는 고객을 서로 겹치지 않는 세 가지 그룹(식료품만 보유, 가전만 보유, 둘 다 보유)으로 명확히 나누는 것입니다.

1 단계: 고객 그룹별 비율 산정

먼저 전체 고객 중에서 각 그룹이 차지하는 정확한 비율을 구해야 합니다.

• 두 멤버십을 모두 가진 고객 (교집합)
  • $P(G \cap E) = 0.15$
• 식료품 멤버십만 가진 고객
  • $P(G \cap E^c) = P(G) – P(G \cap E) = 0.65 – 0.15 = 0.5$
• 가전제품 멤버십만 가진 고객
  • $P(E \cap G^c) = P(E) – P(G \cap E) = 0.5 – 0.15 = 0.35$

참고: 세 그룹의 합($15\% + 50\% + 35\%$)은 $100%$가 되므로, 모든 고객이 이 세 그룹 중 하나에 속함을 알 수 있습니다. 이 세그룹을 편의상 $A_1, A_2, A_3$ 그룹이라고 하겠습니다.

2단계: 그룹별 갱신 확률 적용

이제 전확률 정리(Law of Total Probability)를 적용하여, 각 그룹의 비율($P(A_i)$)에 해당 그룹의 갱신($R$) 조건부 확률($P(R|A_i)$)을 곱해 전체 갱신 비율 $P(R)$을 계산합니다.

$$P(R) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i)P(R|A_i)$$

• R : 갱신 사건 (고객이 멤버십을 갱신함)
• $A_1$: 두 멤버십을 모두 가진 고객
• $A_2$: 식료품 멤버십만 가진 고객
• $A_3$: 가전제품 멤버십만 가진 고객

이제 각 그룹의 비율에 해당 그룹의 갱신 예상 확률을 곱하여, 전체 고객 중 갱신할 사람의 비율을 계산합니다.

• 두 멤버십 모두 가진 고객의 갱신확률 : $0.15 \times 0.8 = 0.12$
• 식료품 멤버십만 가진 고객의 갱신확률 : $0.5 \times 0.4 = 0.2$
• 가전제품 멤버십만 가진 고객의 갱신확률 : $0.35 \times 0.6 = 0.21$

• 전체 갱신확률 계산 :
  • Total Renew = $0.12 + 0.2 + 0.21 = 0.53$ (53%)

따라서, 내년에 적어도 하나의 멤버십을 갱신할 것으로 예상되는 고객의 비율은 53%입니다.