[해설] 투자 손실 분석: 투자 기회로 인한 총 미보상 손실의 분산 계산

안녕하세요! 투자 손실 분석 해설입니다.

문제:투자 기회로 인한 총 미보상 손실의 분산 계산

한 비즈니스맨이 4번의 투자 기회를 가지며, 각각의 투자 기회는 독립적으로 0.20의 확률로 손실을 초래합니다.

각 손실은 평균 1.50의 지수 분포를 따릅니다. 손실은 서로 독립적이며 투자 기회의 수와도 독립적입니다.

보험사는 각 손실의 60%를 보상합니다.

비즈니스맨이 이러한 투자 기회로 인해 발생한 총 미보상 손실의 분산을 계산하세요.

문제 풀이

1. 손실 발생 수 $( N )$: 각 투자 기회는 독립적으로 0.20의 확률로 손실을 초래합니다. 따라서 $( N )$은 이항 분포를 따릅니다. $N \sim \text{Binomial}(4, 0.20)$

2. 각 손실로 인한 금액 $( X_i )$: 평균 1.50의 지수 분포를 따릅니다.

• $E(X_i) = 1.50$
• $\text{Var}(X_i) = 1.50^2 = 2.25$

3. 미보상 손실: 보험사가 각 손실의 60%를 보상하므로, 비즈니스맨이 부담하는 손실은 전체 손실의 40%입니다

• $Y_i = 0.40 X_i$

따라서 $( Y_i )$의 기대값과 분산은 다음과 같습니다:

• $E(Y_i) = 0.40$
• $E(X_i) = 0.40 \times 1.50 = 0.60$
• $\text{Var}(Y_i) = (0.40)^2$
• $\text{Var}(X_i) = 0.16 \times 2.25 = 0.36$

이제 $( S )$를 각 손실로 인한 미보상 손실의 합으로 나타낼 수 있습니다:

• $S = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_N$

여기서 $( N )$은 이항 분포를 따르며, 각 $( Y_i )$는 지수 분포를 따르고 서로 독립적입니다.

이제 $( S )$의 분산을 계산하기 위해 $( N )$과 $( Y_i )$의 성질을 이용합니다.

이항 분포의 성질에 따라 $( N )$의 기대값과 분산은 다음과 같습니다:

• $E(N) = np = 4 \times 0.20 = 0.80$
• $\text{Var}(N) = np(1-p) = 4 \times 0.20 \times 0.80 = 0.64$

따라서 $S$ 의 분산은 다음과 같이 주어집니다:

• $\text{Var}(S) = E(N) \cdot \text{Var}(Y) + (\text{Var}(N)) \cdot (E(Y))^2$

이를 실제 값으로 대입하면:

• $\text{Var}(S) = 0.80 \cdot 0.36 + 0.64 \cdot (0.60)^2$
  $\text{Var}(S) = 0.288 + 0.64 \cdot 0.36$
  $\text{Var}(S) = 0.288 + 0.2304$
  $\text{Var}(S) = 0.5184$

따라서, 비즈니스맨이 이러한 투자 기회로 인해 발생한 총 미보상 손실의 분산은 0.5184입니다.