[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제: 소프트웨어 구독 기간의 조건부 확률 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:소프트웨어 구독 기간의 조건부 확률 분석

한 회사는 특정 소프트웨어의 구독 기간을 분석합니다. 무작위로 선택된 구독 기간 (X)는 다음 밀도 함수로 설명되는 분포를 따릅니다:

$f(x) =\begin{cases}3x^{-4}, & x > 1 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$

무작위로 선택된 구독 기간이 최소 1.5년이라는 조건 하에, 2년 이하일 확률을 계산하세요.

(소수점 넷째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1.정규화 확인:
주어진 밀도 함수가 확률 밀도 함수가 되기 위해 $x > 1$ 구간에서 적분 값이 1이 되어야 합니다.

• $\int_1^\infty 3x^{-4} \, dx$

적분을 계산하면:

• $3 \int_1^\infty x^{-4} \, dx = 3 \left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_1^\infty = 3 \left[ 0 – (-\frac{1}{3}) \right] = 1$

따라서 주어진 함수는 올바른 확률 밀도 함수입니다.

2. 조건부 확률 계산:
$P(1.5 \leq X \leq 2 \mid X \geq 1.5)$를 계산해야 합니다. 조건부 확률의 정의에 따라:

• $P(1.5 \leq X \leq 2 \mid X \geq 1.5) = \frac{P(1.5 \leq X \leq 2)}{P(X \geq 1.5)}$

3. $P(1.5 \leq X \leq 2)$ 계산:

• $P(1.5 \leq X \leq 2) = \int_{1.5}^2 3x^{-4} \, dx = 3 \left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_{1.5}^2 = \left[ -\frac{1}{2^3} + \frac{1}{1.5^3} \right]$

• $= \left[ -\frac{1}{8} + \frac{1}{3.375} \right] = -0.125 + 0.296 = 0.171$

4. $P(X \geq 1.5)$ 계산:

• $P(X \geq 1.5) = \int_{1.5}^\infty 3x^{-4} \, dx = 3 \left[ \frac{x^{-3}}{-3} \right]_{1.5}^\infty = \left[ 0 – (-\frac{1}{1.5^3}) \right] = \frac{1}{1.5^3}$
• $= \frac{1}{3.375} = 0.296$

5.조건부 확률 계산:

• $P(1.5 \leq X \leq 2 \mid X \geq 1.5) = \frac{0.171}{0.296} \approx 0.578$

따라서, 정답은 0.578입니다.