[해설] 제약 회사 R&D 비용 분석: 연간 R&D 비용이 양수일 때 150 이하일 확률 계산

안녕하세요! 제약 회사 R&D 비용 분석 해설입니다.

문제:연간 R&D 비용이 양수일 때 150 이하일 확률 계산

한 제약 회사의 연간 연구 개발(R&D) 비용은 평균 200, 분산 10000인 정규 분포를 따릅니다. $( Z )$는 평균 0, 분산 1인 표준 정규 분포를 따르고, $( F )$는 $( Z )$의 누적 분포 함수(CDF)입니다.

회사의 연간 R&D 비용이 150 이하인 확률을 구하세요.

문제 풀이

연구 개발 비용 변수 $( X )$는 평균 200, 표준 편차 100 $((\sigma = \sqrt{10000} = 100))$의 정규 분포를 따릅니다. $( X )$를 표준 정규 분포 $( Z )$로 변환합니다:

• $Z = \frac{X – \mu}{\sigma}$

여기서 $(\mu = 200), (\sigma = 100)$입니다.

따라서 $( X = 150 )$일 때:

• $Z = \frac{150 – 200}{100} = \frac{-50}{100} = -0.5$

그리고, $( X = 0 )$일 때:

• $Z = \frac{0 – 200}{100} = \frac{-200}{100} = -2$

조건부 확률 계산

연간 R&D 비용이 양수일 때 150 이하일 확률을 구하기 위해 조건부 확률을 사용합니다. $( P(0 < X \leq 150) )$를 계산해야 합니다:

• $P(X \leq 150 \mid X > 0) = \frac{P(0 < X \leq 150)}{P(X > 0)}$

개별 확률 계산

• $P(0 < X \leq 150) = P(0 < Z \leq -0.5) = F(-0.5) – F(-2)$

• $P(X > 0) = P(Z > -2) = 1 – F(-2)$

표준 정규 분포에서, $F(-a) = 1 – F(a)$ 이므로:

• $F(-0.5) = 1 – F(0.5)$

• $F(-2) = 1 – F(2)$

따라서:

• $P(0 < X \leq 150) = (1 – F(0.5)) – (1 – F(2)) = F(2) – F(0.5)$

• $P(X > 0) = 1 – (1 – F(2)) = F(2)$

따라서 회사의 연간 R&D 비용이 150 이하인 확률 $P(X \leq 150 \mid X > 0)$ 은 $\frac{F(2) – F(0.5)}{F(2)}$ 입니다.