[해설] 패키지 배송 요금 예측: 조건부 확률과 확률 분포 계산

안녕하세요! 패키지 배송 요금 예측 해설입니다.

문제:조건부 확률과 확률 분포 계산

한 물류 회사는 매일 배송되는 패키지의 무게가 서로 독립적이며, 각각 1kg에서 10kg 사이의 균등 분포를 따른다고 가정합니다. 이 회사는 각 패키지에 대해 2kg의 기본 무게를 제외한 초과 무게에 대해 추가 요금을 부과합니다.

하루 평균 150개의 패키지를 배송합니다. 하루 동안 총 추가 요금이 500달러에서 1000달러 사이일 확률을 계산하시오. 추가 요금은 초과 무게 1kg당 10달러입니다.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 개별 패키지 무게 $X$ 에 대한 평균 계산:
$X$가 1에서 10 사이의 균등 분포를 따를 때:

• $E[X] = \frac{1 + 10}{2} = 5.5 \text{ kg}$

기본 무게를 제외한 초과 무게 (Y):

• $Y = \max(0, X – 2)$

2. 개별 패키지의 초과 무게 $Y$의 평균 계산:

$Y$의 평균:

• $E[Y] = \int_{2}^{10} \frac{(x-2)}{9} dx = \left. \frac{(x-2)^2}{2 \cdot 9} \right|_{2}^{10} = \frac{64}{18} = 3.56 \text{ kg}$

3. 초과 무게에 대한 추가 요금의 평균 계산:

추가 요금 $Z$:

• $Z = Y \times 10$

평균:

• $E[Z] = 10 \times E[Y] = 10 \times 3.56 = 35.6$

4. 개별 추가 요금의 분산 계산:

$E[Y^2]$:

• $E[Y^2] = \int_{2}^{10} \frac{(x-2)^2}{9} dx = \left. \frac{(x-2)^3}{3 \cdot 9} \right|_{2}^{10} = \frac{512}{27} = 18.96$

$Z$의 분산 $Var[Z]$:

• $Var[Z] = (10^2) \times Var[Y] = 100 \times (E[Y^2] – (E[Y])^2) = 100 \times (18.96 – 3.56^2) = 100 \times (18.96 – 12.67) = 629$

5. 150건의 패키지에 대한 총 기대값, 분산 및 표준편차 계산:

기대값 $E[T]$:

• $E[T] = 150 \times 35.6 = 5340$

분산 $Var[T]$:

• $Var[T] = 150 \times 629 = 94350$

표준편차 $\sigma_T$:

• $\sigma_T = \sqrt{94350} = 307.16$

6. 정규분포 근사 및 확률 계산:

$5000$에서 $5340$의 표준화:

• $Z_1 = \frac{5000 – 5340}{307.16} = \frac{-340}{307.16} = -1.107$

$6000$ 에서 $5340$의 표준화:

• $Z_2 = \frac{6000 – 5340}{307.16} = \frac{660}{307.16} = 2.15$

7. 표준 정규분포를 사용하여 확률 계산:

$P(-1.107 \leq Z \leq 2.15)$:

• $P(Z \leq 2.15) – P(Z \geq -1.107)$

표준 정규분포 표를 참조하면,

$P(Z \leq 2.15) \approx 0.9842$

$P(Z \geq -1.107) \approx 1 – P(Z < -1.107) \approx 1 – 0.1344 = 0.8656$

$P(-1.107 \leq Z \leq 2.15) = 0.9842 – 0.1344 = 0.8498$

따라서, 하루 동안 총 추가 요금이 500달러에서 1000달러 사이일 확률은 약 0.85 입니다.