[해설] 학교 시험 분석: 합격한 학생 수 기대값 계산

안녕하세요! 학교 시험 분석 해설입니다.

문제:합격한 학생 수 기대값 계산

한 학교에서 두 명의 학생이 독립적으로 특정 시험을 보게 됩니다. 학생$A$와 학생 $B$ 각각이 시험에 합격할 확률은 0.4입니다. 합격한 학생이 있을 경우, 그 학생의 점수는 $[70, 100]$ 구간에서 균등하게 분포합니다. 두 학생이 모두 합격할 경우, 각 학생의 점수는 독립적으로 분포합니다.

두 학생의 총 점수가 150 미만일 경우, 합격한 학생 수의 기대값을 계산하십시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 각 경우의 확률 계산

• $( A )$: 학생 $A$가 합격하는 경우 (확률 0.4)
• $( B )$: 학생 $B$가 합격하는 경우 (확률 0.4)

합격한 학생 수에 따른 확률:

• 0명 합격: $( (1 – 0.4)(1 – 0.4) = 0.6 \times 0.6 = 0.36 )$
• 1명 합격: $( 0.4 \times 0.6 + 0.6 \times 0.4 = 0.24 + 0.24 = 0.48 )$
• 2명 합격: $( 0.4 \times 0.4 = 0.16 )$

2. 총 점수가 150 미만일 경우의 확률 계산:

• 0명 합격: 총 점수는 0입니다.
• 1명 합격: 점수는 항상 $[70, 100]$ 구간에 있으므로 항상 150 미만입니다.
• 2명 합격: 두 학생의 점수 합이 150 미만일 확률을 계산해야 합니다.

두 학생의 점수 $( S_1 )$와 $( S_2 )$가 $[70, 100]$ 구간에서 균등하게 분포한다고 할 때, $( S_1 + S_2 < 150 )$일 확률을 계산합니다.

• $( S_1 )$와 $( S_2 )$는 $[70, 100]$ 구간에서 독립적으로 균등 분포합니다.
• $( S_1 + S_2 )$의 합이 150 미만일 확률은 삼각형 영역의 면적을 이용해 계산할 수 있습니다.
• $( S_1 )$와$ S_2$ 의 분포는 30×30 구간의 사각형에서 삼각형 영역의 면적입니다.

$P(S_1 + S_2 < 150) = {$삼각형 면적$} / {$전체 면적$} = \frac{\frac{1}{2} \times 30 \times 30}{30 \times 30} = \frac{\frac{1}{2} \times 900}{900} = \frac{1}{2} = 0.5$

따라서, 두 학생이 모두 합격하고 총 점수가 150 미만일 경우의 확률은 $0.16 \times 0.5 = 0.08$ 입니다.

3. 전체 확률에서 총 점수가 150 미만인 경우

• 0명 합격: 0.36
• 1명 합격: 0.48
• 2명 합격: 0.08

총 확률은:
$P({$총 점수$} < 150) = 0.36 + 0.48 + 0.08 = 0.92$

4. 기대값 계산

조건부 기대값을 계산하려면 각 경우에 대한 기대값을 가중 평균으로 계산합니다:

• 0명 합격: 기대값은 0
• 1명 합격: 기대값은 1
• 2명 합격: 기대값은 2

$E({$합격한 학생 수 | 총 점수$ < 150}) = \frac{0.36 \times 0 + 0.48 \times 1 + 0.08 \times 2}{0.92}$
$E({$합격한 학생 수 | 총 점수$ < 150}) = \frac{0.48 + 0.16}{0.92}$
$E({$합격한 학생 수 | 총 점수$ < 150}) = \frac{0.64}{0.92} \approx 0.696$

결론

총 점수가 150 미만일 경우 합격한 학생 수의 기대값은 약 0.696입니다.