[해설] 직원 보너스 예측 연습문제: 총 보너스가 200개 이하일 확률 계산

안녕하세요! 직원 보너스 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 총 보너스가 200개 이하일 확률 계산

한 회사가 150명의 새로운 남성 직원을 고용했습니다. 회사는 직원이 10년 이상 근무한 경우 보너스를 제공합니다. 또한, 직원이 10년 이상 근무한 경우, 결혼한 직원은 아내에게 추가 보너스를 제공합니다.

1. 각 직원이 10년 이상 근무할 확률이 0.6입니다.
2. 직원이 10년 이상 근무할 경우, 결혼하지 않았을 확률은 0.2입니다.
3. 서로 다른 직원들이 10년 이상 근무하는 사건과 서로 다른 직원들이 10년 이상 근무 시 결혼한 상태인지 여부는 모두 상호 독립적인 사건입니다.

위와 같은 가정일 때, 회사가 150명의 직원과 그들의 아내에게 최대 200개의 보너스를 제공할 확률을 계산하세요.

문제 풀이

1. 각 직원의 보너스 확률 계산:

• 0개의 보너스를 받을 확률: $(1 – 0.6 = 0.4)$
• 1개의 보너스를 받을 확률: $(0.6 \times 0.2 = 0.12)$
• 2개의 보너스를 받을 확률: $(0.6 \times 0.8 = 0.48)$

2. 기대값 계산:

각 직원이 받을 보너스의 기대값은 다음과 같습니다:

$E($보너스$) = 0 \cdot 0.4 + 1 \cdot 0.12 + 2 \cdot 0.48 = 0.12 + 0.96 = 1.08$

150명의 직원에 대한 총 보너스의 기대값은:

$E($총 보너스$) = 150 \times 1.08 = 162$

3. 분산 계산:

각 직원이 받을 보너스의 두 번째 모멘트는 다음과 같습니다:

$E($보너스$^2) = 0^2 \cdot 0.4 + 1^2 \cdot 0.12 + 2^2 \cdot 0.48 = 0 + 0.12 + 1.92 = 2.04$

보너스의 분산은 다음과 같이 계산됩니다:

$\text{Var}($보너스$) = E($보너스$^2) – E($보너스$)^2 = 2.04 – 1.08^2 = 2.04 – 1.1664 = 0.8736$

150명의 직원에 대한 총 보너스의 분산은:

$\text{Var}($총 보너스$) = 150 \times 0.8736 = 131.04$

4. 정규 분포 근사:

중심 극한 정리에 의해, 총 보너스 수는 정규 분포로 근사할 수 있습니다. 총 보너스 ($T$)는 다음과 같이 분포합니다:

$T \sim N(162, \sqrt{131.04}^2)$

5. 연속성 수정 적용 및 확률 계산:

연속성 수정을 적용하여 $P(T \leq 200.5)$ 를 계산합니다:

$Z = \frac{200.5 – 162}{\sqrt{131.04}} \approx \frac{200.5 – 162}{11.44} \approx 3.37$

표준 정규 분포에서 Z = 3.37에 해당하는 누적 분포 함수 값 (CDF)은 약 0.9997입니다.

따라서, 회사가 150명의 직원과 그들의 아내에게 최대 200개의 보너스를 제공할 확률은 약 0.9997 입니다.