[해설] 서비스 대기 시간 분석: 마지막 1분 동안 음료를 받을 확률 계산

안녕하세요! 서비스 대기 시간 분석 해설입니다.

문제:마지막 1분 동안 음료를 받을 확률 계산

어떤 카페에서 고객이 주문을 받은 후 음료를 받기까지의 시간은 지수 분포를 따르며 평균 4분입니다.

고객이 주문한 시점부터 마지막 1분 동안 음료를 받을 확률을 계산하십시오.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 지수 분포의 평균과 $ \lambda $ 값 계산:
지수 분포의 평균이 4분이므로, $ \lambda $ 값은 다음과 같습니다.

• $\lambda = 1 / $평균$ = \frac{1}{4}$

2. 지수 분포의 확률 밀도 함수 $(PDF)$:

• $f(t) = \lambda e^{-\lambda t} = \frac{1}{4} e^{-\frac{1}{4} t}$

3. 지수 분포의 누적 분포 함수 $(CDF)$:

• $F(t) = 1 – e^{-\lambda t} = 1 – e^{-\frac{t}{4}}$

4. 주문 후 마지막 1분 동안 음료를 받을 확률 계산:

고객이 주문한 후 $ k $분이 지나고, $ k+0.75 $분에서 $k+1 $분 사이에 음료를 받을 확률을 구하려면, 전체 확률의 법칙을 사용합니다.

전체 확률의 법칙 사용:

• $\sum_{k=0}^{\infty} P(k + 0.75 < X \leq k + 1 \mid k < X \leq k + 1) P(k < X \leq k + 1)$

첫 번째 확률 계산:

• $P(k + 0.75 < X \leq k + 1 \mid k < X \leq k + 1)$

이 확률은 다음과 같이 계산됩니다:

• $\frac{F(k+1) – F(k+0.75)}{F(k+1) – F(k)}$

여기서 $F(t)$ 는 지수 분포의 누적 분포 함수 $(CDF)$입니다:

• $F(t) = 1 – e^{-\frac{t}{4}}$

따라서,

• $F(k+1) = 1 – e^{-\frac{k+1}{4}}$

• $F(k+0.75) = 1 – e^{-\frac{k+0.75}{4}}$

• $F(k) = 1 – e^{-\frac{k}{4}}$

이를 대입하면,

• $\frac{(1 – e^{-\frac{k+1}{4}}) – (1 – e^{-\frac{k+0.75}{4}})}{(1 – e^{-\frac{k+1}{4}}) – (1 – e^{-\frac{k}{4}})}$

• $= \frac{e^{-\frac{k+0.75}{4}} – e^{-\frac{k+1}{4}}}{e^{-\frac{k}{4}} – e^{-\frac{k+1}{4}}}$

이를 계산하면,

• $\frac{e^{-\frac{0.75}{4}} – e^{-\frac{1}{4}}}{1 – e^{-\frac{1}{4}}}$

수치 계산:

• $e^{-\frac{1}{4}} \approx 0.7788$
  $e^{-\frac{0.75}{4}} \approx 0.8353$
  
• $\frac{0.8353 – 0.7788}{1 – 0.7788} = \frac{0.0565}{0.2212} \approx 0.2555$

따라서 고객이 주문 후 마지막 1분 동안 음료를 받을 확률은 약 0.26 입니다.