[해설] 지수 분포를 이용한 확률 계산 연습문제: 노트북 고장 시 환불 금액의 기대값 분석

안녕하세요! 지수 분포를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:노트북 고장 시 환불 금액의 기대값 분석

한 전자 회사는 200달러짜리 노트북의 수명이 평균 2년인 지수 분포를 따릅니다. 제조업체는 노트북이 구매 후 첫 번째 해에 고장 나면 구매자에게 전액 환불을, 두 번째 해에 고장 나면 반액 환불을 제공하며, 두 번째 해 이후에는 환불을 제공하지 않습니다.

100대의 노트북 판매에서 예상되는 총 환불 금액을 계산하세요.

문제 풀이

1.지수 분포의 특성:
지수 분포의 평균이 2년이므로, $\lambda = \frac{1}{2}$입니다. 지수 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

• $f(t) = \lambda e^{-\lambda t} = \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} t}$

2. 첫 번째 해에 고장 날 확률 $P(T \leq 1)$:

• $P(T \leq 1) = \int_0^1 \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} t} \, dt = \left[ -e^{-\frac{1}{2} t} \right]_0^1 = 1 – e^{-\frac{1}{2}} = 1 – \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 1 – 0.6065$
• $= 0.3935$

3. 두 번째 해에 고장 날 확률 $P(1 < T \leq 2)$:

• $P(1 < T \leq 2) = \int_1^2 \frac{1}{2} e^{-\frac{1}{2} t} \, dt = \left[ -e^{-\frac{1}{2} t} \right]_1^2 = e^{-\frac{1}{2}} – e^{-1} = \frac{1}{\sqrt{e}} – \frac{1}{e}$
• $\approx 0.6065 – 0.3679 = 0.2386$

4. 총 환불 금액 계산:

각 노트북의 환불 기대값을 계산합니다.

• 첫 번째 해에 고장 날 경우: 200달러 환불
• 두 번째 해에 고장 날 경우: 100달러 환불
• 두 번째 해 이후 고장 날 경우: 환불 없음

각 경우의 기대값을 합산합니다:

• $E(\text{refund}) = 200 \cdot P(T \leq 1) + 100 \cdot P(1 < T \leq 2)$
• $= 200 \cdot 0.3935 + 100 \cdot 0.2386 = 78.7 + 23.86 = 102.56$

100대의 노트북 판매에서 예상되는 총 환불 금액은:

• $100 \cdot 102.56 = 10256$

따라서, 정답은 10,256입니다.