[해설] 항공기 수리 비용 예측 연습문제: 15개의 수리 비용 평균이 11,000달러를 초과할 확률 계산

안녕하세요! 항공기 수리 비용 예측 연습문제 해설입니다.

문제:15개의 수리 비용 평균이 11,000달러를 초과할 확률 계산

한 항공사는 항공기 수리 비용이 평균 10,000달러, 표준 편차 2,000달러인 정규 분포를 따른다고 가정합니다.

15개의 무작위로 선택된 수리 비용의 평균이 11,000달러를 초과할 확률을 계산하세요.

문제 풀이

• 각 수리 비용의 평균 ($\mu$) = 10,000달러
• 각 수리 비용의 표준 편차 ($\sigma$) = 2,000달러
• 선택된 수리 비용의 수 ($n$) = 15

15개의 수리 비용의 평균 ($\bar{X}$)은 정규 분포를 따릅니다. 이 평균의 기대값과 표준 오차는 다음과 같습니다:

$\mu_{\bar{X}} = \mu = 10,000$

$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2000}{\sqrt{15}} \approx 516.40$

15개의 수리 비용 평균이 11,000을 초과할 확률을 구해야 합니다. 이를 위해 $\bar{X}$ 가 11,000을 초과할 때의 Z-값을 계산합니다:

$Z = \frac{\bar{X} – \mu_{\bar{X}}}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{11000 – 10000}{516.40} \approx 1.937$

표준 정규 분포에서 Z값이 1.937인 확률을 찾습니다. Z값이 1.937인 경우의 누적 분포 함수 값 (CDF)은 약 0.9733입니다.

따라서, 평균이 11,000을 초과할 확률은:

$P(Z > 1.937) = 1 – P(Z \leq 1.937) = 1 – 0.9733 = 0.0267$

따라서, 15개의 무작위로 선택된 수리 비용의 평균이 11,000달러를 초과할 확률은 약 0.027 입니다.