[해설] 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제 : 사무직 근로자의 건강 위험 요인 분석

안녕하세요! 조건부 확률을 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:사무직 근로자의 건강 위험 요인 분석

슬통은 사무직 근로자들 사이에서 발생하는 세 가지 건강 위험 요인인 과로, 불면증, 시력 저하를 연구하고 있습니다. 이 세 가지 요인 각각에 대해, 근로자가 해당 요인만을 가지고 있을 확률은 0.1입니다 (유일한 위험 요인). 어떤 두 요인에 대해서는, 근로자가 다른 요인 없이 이 두 가지만 가지고 있을 확률이 0.12입니다. 근로자가 과로와 불면증을 가지고 있을 때, 그가 시력 저하도 같이 가지고 있을 확률은 1/3입니다.

이러한 조건 하에서, 근로자가 과로를 가지고 있지 않은 경우, 그가 세 위험 요인 중 어떤 것도 가지고 있지 않을 확률을 계산하세요.

문제 정보 요약

각 요인 과로, 불면증, 시력 저하를 $A, B, C$ 사건으로 정의합시다.

• 각 위험 요인만 가지고 있는 경우의 확률 : $P(A \cap B^c \cap C^c) = P(A^c \cap B \cap C^c) = P(A^c \cap B^c \cap C) = 0.1$
• 정확히 두 위험 요인만 가지고 있는 경우의 확률 :$P(A \cap B \cap C^c) = P(A \cap B^c \cap C) = P(A^c \cap B \cap C) = 0.12$
• 세 위험 요인을 모두 가지고 있는 확률은 A와 B가 주어졌을 때 C도 가지고 있을 조건부 확률 : $P(A \cap B \cap C | A \cap B) = \frac{1}{3}$

문제 풀이

1. 모든 위험 요인을 가질 확률 $P(A \cap B \cap C)$을 x라 가정하면,
   • $\frac{1}{3} = P(A \cap B \cap C | A \cap B) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(A \cap B)} = \frac{x}{x+0.12}$
   • $x = \frac{1}{3} \times (x + 0.12) = \frac{1}{3}x + 0.04$
   • $\frac{2}{3}x = 0.04$
   • $x = 0.06$
2. 이를 이용하면,
   • $P((A \cup B \cup C)^c | A^c) = \frac{P((A \cup B \cup C)^c)}{P(A^c)}$
   • $= \frac{1 – P(A \cup B \cup C)}{1 – P(A)}$
   • $= \frac{1-3(0.10)-3(0.12)-0.06}{1-0.10-2(0.12)-0.06}$
   • $= \frac{0.28}{0.60} \approx 0.467$

따라서, 근로자가 과로를 가지고 있지 않은 경우, 해당 그가 세 위험 요인 중 어떤 것도 가지고 있지 않을 확률은 약 0.467입니다.