[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대 수리 비용 계산 연습문제: 전자 기기 보험의 보상 한도 적용 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대 수리 비용 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 전자 기기 보험의 보상 한도 적용 분석

한 전자제품 보험 회사가 가치가 2,000달러인 노트북을 200달러 공제액이 있는 1년 단위 보험으로 보험을 들었습니다. 보험 기간 동안 노트북에 부분적인 손상이 발생할 확률은 0.05이고, 전체 손실이 발생할 확률은 0.01입니다. 노트북에 부분적인 손상이 발생할 경우 손상 금액 $X$ (단위: 백 달러)는 다음과 같은 확률 밀도 함수에 따릅니다:

$f(x) = \begin{cases} 0.1e^{-0.1x}, & 0 < x < 20 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

청구 지불금의 기대값을 계산하세요.(소수 첫째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

보험 지불금의 기대값을 계산하기 위해 다음 세 가지 상황을 고려합니다:

1. 부분 손상이 발생하지 않는 경우 (확률 0.94)
2. 전체 손실이 발생하는 경우 (확률 0.01, 공제 후 지급 금액 18)
3. 부분 손상이 발생하는 경우 (확률 0.05, 지급 금액을 $(X-2)$ 로 계산)

1. 부분 손상이 발생하지 않는 경우

부분 손상이 발생하지 않는 경우는 지불금이 없습니다.
$P(${부분 손상 없음}$) = 0.94$

2. 전체 손실이 발생하는 경우

전체 손실이 발생하면 보험 지불금은 공제 후 18 백 달러입니다.
$P(${전체 손실}$) = 0.01$
{지불금}$ = 18$

3. 부분 손상이 발생하는 경우

부분 손상이 발생하면 보험 지불금은 $ (X – 2)$ 입니다.
$P(${부분 손상}$) = 0.05$

부분 손상에 대한 기대 손상 금액 $E[(X – 2)^+]$ 을 계산합니다.

기대 손상 금액 $E[(X – 2)^+]$

$E[(X – 2)^+] = \int_2^{20} (x – 2) \cdot 0.1 e^{-0.1x} \, dx$

적분 계산

이 적분을 풀기 위해 부분 적분을 사용합니다:
$u = x – 2$
$dv = 0.1 e^{-0.1x} dx$
$du = dx$
$v = -e^{-0.1x}$

부분 적분 결과:
$ \int (x – 2) \cdot 0.1 e^{-0.1x} \, dx = (x-2)(-e^{-0.1x}) \Big|_2^{20} – \int -e^{-0.1x} \, dx \Big|_2^{20} $

두 번째 적분:
$\int e^{-0.1x} \, dx = -10e^{-0.1x}$

결과:
$\left[ -(x-2)e^{-0.1x} – 10e^{-0.1x} \right]_2^{20}$
$= \left[ -(20-2)e^{-2} – 10e^{-2} \right] – \left[ -(2-2)e^{-0.2} – 10e^{-0.2} \right]$
$= \left[ -18e^{-2} – 10e^{-2} \right] – \left[ 0 – 10e^{-0.2} \right]$
$= -28e^{-2} + 10e^{-0.2}$

수치 계산 :
$e^{-2} \approx 0.1353$
$e^{-0.2} \approx 0.8187$
$-28 \cdot 0.1353 + 10 \cdot 0.8187$
$\approx -3.7884 + 8.187$
$\approx 4.3986$

전체 기대 청구 지불금 계산

이제 전체 기대 청구 지불금을 계산합니다:
기대 청구 지불금 $= 0.94 \times 0 + 0.01 \times 18 + 0.05 \times 4.3986$
$= 0.18 + 0.21993$
$= 0.39993 \approx 0.4$

따라서, 최종 청구 지불금의 기대값은 0.4 백 달러 (약 40 달러)입니다.