[해설] 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제: 출판사별 잘못 인쇄된 도서 발생 확률 분석

안녕하세요! 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 출판사별 잘못 인쇄된 도서 발생 확률 분석

한 대학 도서관은 도서의 1/5을 출판사 A로부터, 나머지는 다른 출판사들로부터 받습니다. 각 도서 배송에는 매우 많은 수의 도서가 포함되어 있습니다.

출판사 A의 배송에서는 도서의 10%가 잘못 인쇄된 도서입니다. 다른 모든 출판사의 경우 도서의 2%가 잘못 인쇄된 도서입니다. 도서관은 한 배송에서 무작위로 선택된 30개의 도서를 검사하고 그 중 하나가 잘못 인쇄된 도서라고 발견했습니다.

이 배송이 출판사 A에서 왔을 확률을 계산하세요.

문제 풀이

• $P(A)$ : 이 배송이 출판사 A에서 온 확률 $= 1/5 = 0.2$
• $P(B)$ : 이 배송이 다른 출판사들에서 온 확률 $= 4/5 = 0.8$

다음은 잘못 인쇄된 도서가 발견될 확률입니다.

• $P(E | A)$ : 출판사 A 배송에서 1개의 잘못 인쇄된 도서가 발견될 확률
• 출판사 A에서는 잘못 인쇄된 도서의 비율이 10%입니다.
• 잘못 인쇄된 도서 1개를 발견하고 나머지 29개는 정상 도서일 확률을 계산해야 합니다.
• 따라서, 이 확률은 아래와 같이 이항 분포로 표현할 수 있습니다.
• $P(E | A) = \binom{30}{1} \times (0.1)^1 \times (0.9)^{29}$

• $ P(E | B) $ : 다른 출판사 배송에서 1개의 잘못 인쇄된 도서가 발견될 확률
• 다른 출판사에서는 잘못 인쇄된 도서의 비율이 2%입니다.
• 잘못 인쇄된 도서 1개를 발견하고 나머지 29개는 정상 도서일 확률을 계산해야 합니다.
• 따라서, 이 확률도 이항 분포로 계산할 수 있습니다:
• $P(E | B) = \binom{30}{1} \times (0.02)^1 \times (0.98)^{29}$

잘못 인쇄된 도서가 발견될 전체 확률 $ P(E)$ 일 때

• $P(E) = P(E | A) \times P(A) + P(E | B) \times P(B)$

최종적으로 베이즈 정리에 따라:

• $P(A | E) = \frac{P(E | A) \times P(A)}{P(E)}$

먼저 $P(E | A)$와 $P(E | B)$를 계산합니다:

• $P(E | A) = 30 \times (0.1)^1 \times (0.9)^{29}$
• $P(E | B) = 30 \times (0.02)^1 \times (0.98)^{29}$

그리고 $( P(E) )$를 계산합니다:

• $P(E) = (P(E | A) \times 0.2) + (P(E | B) \times 0.8)$

마지막으로 $P(A | E)$ 를 계산합니다:

• $P(A | E) = \frac{P(E | A) \times 0.2}{P(E)} = \frac{0.1413 \times 0.2}{0.29546} = 0.09557$

위 계산 결과에 따르면, 잘못 인쇄된 도서가 발견된 경우 이 배송이 출판사 A에서 왔을 확률은 약 0.096 입니다.