[해설] 전구 수명 분석: 두 전구의 총 수명이 세 번째 전구 수명의 1.8배를 초과할 확률 계산

안녕하세요! 전구 수명 분석 해설입니다.

문제:두 전구의 총 수명이 세 번째 전구 수명의 1.8배를 초과할 확률 계산

특정 브랜드의 전구 수명은 평균 800시간, 표준 편차 50시간인 정규 분포를 따릅니다. 이 전구들의 수명은 독립적입니다.

세 개의 전구 중 두 개의 전구의 총 수명이 세 번째 전구의 수명의 1.8배를 초과할 확률을 계산하세요.(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

1. 정규 분포 변수 설정

• $X, Y, Z$를 각각 세 개의 전구의 수명이라고 합니다.
• $X, Y, Z \sim N(800, 50^2)$

2. 문제 조건 설정

• 두 전구의 수명의 합: $X + Y$
• 세 번째 전구의 수명의 1.8배: $1.8Z$
• 우리가 찾는 것은 $P(X + Y > 1.8Z)$

3. 선형 결합의 분포

• $W = X + Y – 1.8Z$
• $W$는 정규 분포를 따르며, 기대값과 분산은 다음과 같이 계산됩니다.
• $W \sim N(\mu_W, \sigma_W^2)$
• $\mu_W = \mu_X + \mu_Y – 1.8\mu_Z = 800 + 800 – 1.8 \times 800 = 1600 – 1440 = 160$
• $\sigma_W^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + (1.8)^2\sigma_Z^2 = 50^2 + 50^2 + (1.8)^2 \times 50^2$
  $= 2500 + 2500 + 3.24 \times 2500 = 2500 + 2500 + 8100 = 13100$
• $\sigma_W = \sqrt{13100} \approx 114.45$

4. 확률 계산

• $P(X + Y > 1.8Z) = P(W > 0)$
• $W$의 기대값이 160이고 표준 편차가 114.45이므로, $W$를 표준화합니다.
• $Z = \frac{W – \mu_W}{\sigma_W} = \frac{0 – 160}{114.45} \approx -1.398$
• 표준 정규 분포표에서 $P(Z > -1.398)$를 찾습니다.
• $P(Z > -1.398) = 1 – P(Z \leq -1.398) \approx 1 – 0.0816 = 0.9184$

결론

따라서, 두 개의 전구의 총 수명이 세 번째 전구의 수명의 1.8배를 초과할 확률은 약 0.9184입니다.