[해설] 지수 분포를 이용한 기대값 계산 연습문제: 서버 고장 시간 발견의 기대값 분석

안녕하세요! 지수 분포를 이용한 기대값 계산 연습문제 해설입니다.

문제:서버 고장 시간 발견의 기대값 분석

한 IT 회사의 데이터 센터에 설치된 컴퓨터 서버는 연속적으로 데이터를 처리하고 기록합니다. 이 서버의 고장 시간 $T$는 평균 3년인 지수 분포를 따릅니다. 이 서버는 첫 2년 동안은 점검하지 않기 때문에, 고장을 발견하는 시간 $X$는 $\max(T, 2)$ 가 됩니다.

$E(X)$를 계산하세요.

문제 풀이

서버의 고장 시간 $T$는 평균 3년인 지수 분포를 따릅니다. 지수 분포의 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다:

• $f_T(t) = \frac{1}{\lambda} e^{-t/\lambda}$

여기서 $\lambda = 3$이므로:

• $f_T(t) = \frac{1}{3} e^{-t/3}$

고장을 발견하는 시간 $X = \max(T, 2)$의 기대값 $E[X]$를 구하기 위해, $T$가 2년 이하일 경우와 2년 초과일 경우로 나누어 생각합니다.

1. $T \leq 2$일 경우: $X = 2$
2. $T > 2$일 경우: $X = T$

기대값 계산:

기대값 $E[X]$는 다음과 같이 구할 수 있습니다:

• $E[X] = E[X \mid T \leq 2] \cdot P(T \leq 2) + E[X \mid T > 2] \cdot P(T > 2)$

$P(T \leq 2)$ 계산:

• $P(T \leq 2) = \int_0^2 f_T(t) \, dt = \int_0^2 \frac{1}{3} e^{-t/3} \, dt$
• $= \left[ -e^{-t/3} \right]_0^2 = -e^{-2/3} + 1 = 1 – e^{-2/3}$

$P(T > 2)$ 계산:

• $P(T > 2) = 1 – P(T \leq 2) = e^{-2/3}$
• $E[X \mid T \leq 2]$
• $E[X \mid T \leq 2] = 2$
• $E[X \mid T > 2]$
• $E[X \mid T > 2] = E[T \mid T > 2] = \int_2^\infty t \cdot \frac{f_T(t)}{P(T > 2)} \, dt$

여기서, $\frac{f_T(t)}{P(T > 2)}$는 조건부 확률 밀도 함수입니다:

• $f_{T \mid T > 2}(t) = \frac{\frac{1}{3} e^{-t/3}}{e^{-2/3}} = \frac{1}{3} e^{2/3} e^{-t/3} = \frac{1}{3} e^{(2 – t)/3}$

따라서:

• $E[X \mid T > 2] = \int_2^\infty t \cdot \frac{1}{3} e^{(2 – t)/3} \, dt$

적분을 계산하면:

• $E[X \mid T > 2] = \left[ \left(-t – 3\right) e^{(2 – t)/3} \right]_2^\infty = 5$

결합하여 기대값 계산

• $E[X] = 2 \cdot (1 – e^{-2/3}) + 5 \cdot e^{-2/3}$

따라서, 기대값은:

• $E[X] = 2 – 2e^{-2/3} + 5e^{-2/3} = 2 + 3e^{-2/3}$

이로써 답은 $ 2 + 3e^{-2/3}$ 입니다.