[해설] 배터리 수명 예측 연습문제: 최소 배터리 개수 계산

안녕하세요! 배터리 수명 예측 연습문제 해설입니다.

문제: 최소 배터리 개수 계산

한 회사는 수명이 평균 6개월이고 분산이 1.5인 배터리를 제조합니다. 소비자는 이 배터리들을 구입하여 하나씩 소진될 때마다 교체할 계획입니다. 이 배터리들의 수명은 서로 독립적입니다.

배터리의 수명이 최소 80개월 동안 지속될 확률이 최소 0.99가 되도록 구매해야 할 최소 배터리 개수를 계산하세요.

문제 풀이

1. 배터리의 수명은 평균 6개월, 분산 1.5인 정규 분포를 따릅니다.
2. 소비자는 배터리가 소진될 때마다 교체할 계획입니다.
3. 배터리의 총 수명이 최소 80개월 동안 지속될 확률이 최소 0.99가 되도록 구매해야 할 최소 배터리 개수를 계산합니다.

먼저, 배터리의 수명을 나타내는 랜덤 변수 ($X$)는 정규 분포를 따릅니다:

$X \sim N(6, \sqrt{1.5}^2)$

여러 개의 배터리를 사용할 경우 총 수명은 각각의 배터리 수명 합의 분포를 따릅니다. (n)개의 배터리를 사용할 경우, 총 수명의 평균과 분산은 다음과 같습니다:

총 수명의 평균$ = n \times 6$

총 수명의 분산$ = n \times 1.5 = 1.5n$

따라서 총 수명의 표준 편차는 $\sqrt{1.5n}$ 이 됩니다.

목표는 총 수명이 80개월 이상 지속될 확률이 0.99 이상이 되도록 하는 $n$ 을 찾는 것입니다. 이 확률을 계산하기 위해 정규 분포를 사용합니다.

$P(T_n \geq 80) = 0.99$

여기서 $(T_n)$ 은 $n$개의 배터리 수명의 합입니다. 정규 분포로 근사하여 이 문제를 해결할 수 있습니다:

$T_n \sim N(n \times 6, 1.5n)$

정규화하면:

$Z = \frac{T_n – n \times 6}{\sqrt{1.5n}} \sim N(0, 1)$

$P\left(\frac{80 – n \times 6}{\sqrt{1.5n}} \geq \frac{80 – n \times 6}{\sqrt{1.5n}}\right) = 0.99$

표준 정규 분포에서 0.99에 해당하는 Z값은 약 2.33입니다. 따라서:

$\frac{80 – 6n}{\sqrt{1.5n}} = 2.33$

이 식을 풀어서 n을 찾습니다:

$80 – 6n = 2.33\sqrt{1.5n}$

양변을 제곱합니다:

$(80 – 6n)^2 = 2.33^2 \times 1.5n$

$6400 – 960n + 36n^2 = 5.4289n$

$36n^2 – 965.4289n + 6400 = 0$

이 이차 방정식을 풀면:

$n = \frac{965.4289 \pm \sqrt{965.4289^2 – 4 \times 36 \times 6400}}{2 \times 36}$

$n = \frac{965.4289 \pm \sqrt{932051.1801 – 921600}}{72}$

$n = \frac{965.4289 \pm \sqrt{10451.1801}}{72}$

$n = \frac{965.4289 \pm 102.2239}{72}$

두 근 중 양의 정수 해만 고려하면:

$n = \frac{965.4289 + 102.2239}{72} = \frac{1067.6528}{72} \approx 14.82$

따라서, 배터리의 수명이 최소 80개월 동안 지속될 확률이 최소 0.99가 되도록 구매해야 할 최소 배터리 개수는 15개입니다.