[해설] 수리 비용 누적 분포 함수: 보상금 누적 분포 함수 계산

안녕하세요! 수리 비용 누적 분포 함수 해설입니다.

문제:보상금 누적 분포 함수 계산

한 기계 소유자가 경험하는 수리 비용에 대한 누적 분포 함수는 다음과 같이 모델링됩니다:

$F(x) = \begin{cases} 1 – e^{-\frac{x}{50}}, & x > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

이 정책은 공제액이 10입니다. 보험 회사는 10에서 70 사이의 수리 비용에 대해 100%를 보상하며, 70을 초과하는 수리 비용에 대해서는 60%를 보상합니다.

보험금이 양수인 경우의 보험금에 대한 누적 분포 함수 $G $가 주어졌습니다.

$ G(80) $를 계산하십시오.

문제 풀이

보상금을 $Y $로 정의합니다. 그러면 $G(80) = P(Y < 80 \mid X > 10)$ 를 구해야 합니다. $Y = 80 $가 되기 위해서는 비용 $X$ 가 70을 초과해야 합니다. 추가적인 10 보상을 받기 위해서는 16.67의 추가 비용이 필요합니다.

즉, $ P(X \leq 86.67 \mid X > 10) $을 구해야 합니다.

• $P(X \leq 86.67 \mid X > 10) = \frac{P(10 < X \leq 86.67)}{P(X > 10)}$

여기서

• $P(10 < X \leq 86.67) = F(86.67) – F(10) P(X > 10) = 1 – F(10)$

누적 분포 함수 $F(x)$

• $F(x) = 1 – e^{-\frac{x}{50}} \text{ for } x > 0$

따라서

• $F(86.67) = 1 – e^{-\frac{86.67}{50}} = 1 – e^{-1.7334}$
• $F(10) = 1 – e^{-\frac{10}{50}} = 1 – e^{-0.2}$

계산

• $P(10 < X \leq 86.67) = F(86.67) – F(10) = (1 – e^{-1.7334}) – (1 – e^{-0.2}) = e^{-0.2} – e^{-1.7334} P(X > 10) = 1 – F(10) = e^{-0.2}$

따라서,

• $P(X \leq 86.67 \mid X > 10) = \frac{e^{-0.2} – e^{-1.7334}}{e^{-0.2}} = 1 – \frac{e^{-1.7334}}{e^{-0.2}} = 1 – e^{-1.5334}$

최종 계산

• $e^{-1.5334} \approx 0.216$
  $1 – e^{-1.5334} \approx 1 – 0.216 = 0.784$

따라서,

따라서, $G(80) \approx 0.784$ 입니다.