[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대값 계산 연습문제: 도시의 하루 최고 기온 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대값 계산 연습문제 해설입니다.

문제:도시의 하루 최고 기온 분석

어떤 도시의 하루 최고 기온 T는 다음과 같은 확률 밀도 함수로 나타낼 수 있는 연속 확률 변수입니다:

$f(t) =\begin{cases}\frac{|t|}{10}, & -2 \leq t \leq 4 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$

이 도시의 하루 최고 기온의 기대값을 구하세요.

문제 풀이

기대값 $E[T]$는 확률 밀도 함수 $f(t)$에 대해 다음과 같이 정의됩니다:

• $E[T] = \int_{-\infty}^{\infty} t f(t) \, dt$

주어진 확률 밀도 함수 $f(t)$를 사용하면:

• $E[T] = \int_{-2}^{4} t \cdot \frac{|t|}{10} \, dt$

먼저, 절대값 기호를 없애기 위해 $t$의 구간을 분할하여 계산합니다:

• $([-2, 0])$ 구간에서는 $(|t| = -t)$
• $([0, 4])$ 구간에서는 $|t| = t$

따라서, 식을 두 부분으로 나눌 수 있습니다:

• $E[T] = \int_{-2}^{0} t \cdot \frac{-t}{10} \, dt + \int_{0}^{4} t \cdot \frac{t}{10} \, dt$

이를 계산하면:

• $E[T] = -\int_{-2}^{0} \frac{t^2}{10} \, dt + \int_{0}^{4} \frac{t^2}{10} \, dt$

각각의 적분을 구합니다.

1.$\int_{-2}^{0} \frac{t^2}{10} \, dt:$

• $\int_{-2}^{0} \frac{t^2}{10} \, dt = \frac{1}{10} \int_{-2}^{0} t^2 \, dt = \frac{1}{10} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \frac{1}{10} \left( 0 – \frac{(-2)^3}{3} \right) = \frac{1}{10} \left( 0 + \frac{8}{3} \right) $
• $= \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

2.$\int_{0}^{4} \frac{t^2}{10} \, dt:$

• $\int_{0}^{4} \frac{t^2}{10} \, dt = \frac{1}{10} \int_{0}^{4} t^2 \, dt = \frac{1}{10} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{10} \left( \frac{64}{3} – 0 \right) = \frac{64}{30} = \frac{32}{15}$

이를 합치면:

• $E[T] = -\frac{4}{15} + \frac{32}{15} = \frac{28}{15}$

따라서, 기대값은 $\frac{28}{15}$ 입니다.