[해설] 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제: 도서관 방문 목적 확률 분석

안녕하세요! 베이즈 정리를 이용한 확률 계산 연습문제 해설입니다.

문제:도서관 방문 목적 확률 분석

도서관에 방문한 사람들은 세 가지 목적으로 나뉩니다: 연구하기, 공부하기, 그리고 취미로 책 읽기. 방문객들은 각각의 목적으로 방문했고, 그들이 목적을 달성하지 못한 비율도 다릅니다.

• 연구를 하러 온 10%의 방문객 중, 40%는 필요한 자료를 찾지 못했습니다.

• 공부를 하러 온 30%의 방문객 중, 10%는 자리가 없어 공부를 하지 못했습니다.

• 취미로 온 60%의 방문객 중, 1%만이 만족하지 못했습니다.

어떤 방문객이 도서관에서 목적을 성공적으로 달성했다면, 그 사람이 공부 목적으로 방문했을 확률을 계산하세요.

문제 정보 요약

문제의 사건들을 S (목적 달성 성공), R (연구하기), G (공부하기), L (취미) 로 정의할 때,

• $P(S|G)$ = 0.9 (방문객이 공부 목적으로 왔을 때 성공할 확률)
• $P(G) = 0.3$ (방문객이 공부 목적으로 도서관을 방문할 확률)
• 모든 방문객 중에서 성공적으로 목적을 달성할 확률 $P(S)$은 아래와 같이 계산됩니다.
  • $P(S) = P(S|R) \times P(R) + P(S|G) \times P(G) + P(S|L) \times P(L)$

여기서,

• $P(R) = 0.1$ (전체 방문객 중 10%가 연구 목적)
• $P(S|R) = 0.6$ (연구 목적의 방문객 중 60%가 성공)
• $P(L) = 0.6$ (전체 방문객 중 60%가 취미 목적)
• $P(S|L) = 0.99$ (취미 목적의 방문객 중 99%가 성공)

문제 풀이

1. 전체 성공 확률 계산
   • $P(S) = 0.6 \times 0.1 + 0.9 \times 0.3 + 0.99 \times 0.6 = 0.06 + 0.27 + 0.594 = 0.924$
2. 조건부 확률 계산
   • $P(G|S) = \frac{P(G) \times P(S|G)}{P(S)} = \frac{0.9 \times 0.3}{0.924} \approx 0.292$

따라서, 방문 목적 성공을 기반으로 공부 목적이었을 확률은 약 0.29 입니다.