[해설] 확률 변수의 분산 계산 연습문제: 주어진 누적 분포 함수를 이용한 확률 변수 Y의 분산 계산

안녕하세요! 확률 변수의 분산 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 주어진 누적 분포 함수를 이용한 확률 변수 Y의 분산 계산

확률 변수 $Y$ 의 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

$G(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \frac{y^2}{4}, & 0 \le y < 2 \\ 1, & y \ge 2 \end{cases}$

확률 변수 $Y$ 의 분산을 계산하시오.

문제 풀이

1.확률 밀도 함수(PDF) 구하기:

$CDF$를 $y$에 대해 미분하여 $PDF$를 구합니다.

$g(y) = \frac{d}{dy} G(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \frac{d}{dy} \left( \frac{y^2}{4} \right) = \frac{y}{2}, & 0 \le y < 2 \\ 0, & y \ge 2 \end{cases}$

2.기대값 $E(Y)$ 계산:

$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y g(y) \, dy = \int_{0}^{2} y \left( \frac{y}{2} \right) \, dy = \int_{0}^{2} \frac{y^2}{2} \, dy$

적분을 계산합니다:

$E(Y) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} y^2 \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{8}{3} \right) = \frac{4}{3}$

3.$ E(Y^2)$ 계산:

$E(Y^2) = \int_{-\infty}^{\infty} y^2 g(y) \, dy = \int_{0}^{2} y^2 \left( \frac{y}{2} \right) \, dy = \int_{0}^{2} \frac{y^3}{2} \, dy$

적분을 계산합니다:

$E(Y^2) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} y^3 \, dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{16}{4} \right) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

4.분산 계산:

$\text{Var}(Y) = E(Y^2) – [E(Y)]^2 = 2 – \left( \frac{4}{3} \right)^2$

$\left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9}$

$text{Var}(Y) = 2 – \frac{16}{9} = \frac{18}{9} – \frac{16}{9} = \frac{2}{9}$

따라서 $Y$ 의 분산은 $ \frac{2}{9} $입니다.