[해설] 트레이닝 세션 참여 예측: 조건부 확률과 확률 분포 계산

안녕하세요! 트레이닝 세션 참여 예측 해설입니다.

문제:조건부 확률과 확률 분포 계산

$p(n)$ 은 회원이 주어진 연도에 $n$ 번의 트레이닝 세션에 참여하는 확률을 나타내며, 여기서 $n = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 입니다. 다음과 같은 관찰이 이루어졌습니다:

1. $ p(n) \geq p(n+1) for n = 0, 1, 2, 3, 4 .$
2. $p(n)$ 과 $p(n+1)$ 의 차이는 $n = 0, 1, 2, 3, 4$ 에 대해 동일합니다.
3. 정확히 $70\%$의 회원들이 두 번 이하의 트레이닝 세션에 참여합니다.

임의의 회원이 주어진 연도에 네 번 이상의 트레이닝 세션에 참여할 확률을 계산하십시오.
(소수 셋째 자리에서 반올림 하세요.)

문제 풀이

확률이 동일한 간격으로 분포되어 있기 때문에 $p_n = p_0 – nc$ 로 나타낼 수 있습니다. 여기서 $c$ 는 일정한 간격입니다. 또한, 확률의 합은 1이 되어야 합니다.

• $0.7 = p_0 + p_1 + p_2 = p_0 + (p_0 – c) + (p_0 – 2c) = 3p_0 – 3c$

확률의 합은 1이 되어야 하므로,

• $1 = p_0 + (p_0 – c) + (p_0 – 2c) + (p_0 – 3c) + (p_0 – 4c) + (p_0 – 5c) = 6p_0 – 15c$

이 두 방정식을 풀어보면, 첫 번째 방정식을 5로 곱하면,

• $3.5 = 15p_0 – 15c$

두 번째 방정식에서 이를 빼면,

• $3.5 = 9p_0 \quad \Rightarrow \quad p_0 = \frac{7}{18}$

첫 번째 방정식에 대입하면,

• $0.7 = 3 \cdot \frac{7}{18} – 3c \quad \Rightarrow $
• $\quad c =\frac{7}{18} – 0.7 = \frac{7}{18} – \frac{12.6}{18} = -\frac{5.6}{18} = -\frac{2.8}{9}$

따라서 $p_4, p_5$ 의 합을 계산하면,

• $p_4 = p_0 – 4c = \frac{7}{18} – 4 \cdot -\frac{2.8}{9}$
• $=\frac{7}{18} + \frac{11.2}{9} = \frac{7}{18} + \frac{22.4}{18} = \frac{29.4}{18} = 1.6333$

• $p_5 = p_0 – 5c = \frac{7}{18} – 5 \cdot -\frac{2.8}{9}$
• $ = \frac{7}{18} + \frac{14}{9} = \frac{7}{18} + \frac{28}{18} = \frac{35}{18} = 1.9444$

여기서$ p_4, p_5$ 의 합은,

• $p_4 + p_5 = 1.6333 + 1.9444 = 3.5777$

따라서, 임의의 회원이 주어진 연도에 네 번 이상의 트레이닝 세션에 참여할 확률은 0.34입니다.