[해설] 농작물 성장 기간 분석 연습문제: 성장 시간 Y의 분산 계산

안녕하세요! 농작물 성장 기간 분석 연습문제 해설입니다.

문제: 성장 시간 Y의 분산 계산

한 농장에서는 특정 작물의 성장 기간을 분석하고 있습니다. 이 작물은 고장 시 교체되거나 최대 6개월 동안 자라게 됩니다. 작물의 성장 시간 $X$는 $0 < x < 10$에서 균일 분포를 따릅니다.

작물의 성장 시간을 나타내는 밀도 함수는 다음과 같습니다:
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{10}, & 0 < x < 10 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

작물의 교체 시기를 $Y$라고 할 때, $Y$의 분산을 계산하시오.

문제 풀이

1. $Y$의 분포:

• $(0 < X < 6)$일 때 $(Y = X)$
• $(6 \ ≤ X < 10)$일 때 $(Y = 6)$

2.기대값 $E[Y] $:

$E[Y] = \int_0^6 y \cdot \frac{1}{10} dy + 6 \cdot \frac{4}{10}$

$E[Y] = \left. \frac{y^2}{20} \right|_0^6 + 6 \cdot \frac{4}{10}$

$E[Y] = \frac{36}{20} + 2.4 = 1.8 + 2.4 = 4.2$

3.$E[Y^2]$:

$E[Y^2] = \int_0^6 y^2 \cdot \frac{1}{10} dy + 6^2 \cdot \frac{4}{10}$

$E[Y^2] = \left. \frac{y^3}{30} \right|_0^6 + 36 \cdot \frac{4}{10}$

$E[Y^2] = \frac{216}{30} + 14.4 = 7.2 + 14.4 = 21.6$

4.분산 $Var(Y)$:

$Var(Y) = E[Y^2] – (E[Y])^2$

$Var(Y) = 21.6 – (4.2)^2$

$Var(Y) = 21.6 – 17.64 = 3.96$

따라서, $Y$의 분산은 약 3.96입니다.