[해설] 확률 밀도 함수를 이용한 기대 수리 비용 계산 연습문제: 전자 기기 보험의 보상 한도 적용 분석

안녕하세요! 확률 밀도 함수를 이용한 기대 수리 비용 계산 연습문제 해설입니다.

문제: 전자 기기 보험의 보상 한도 적용 분석

한 전자 기기 제조사가 1년짜리 제품 보증 보험을 판매하고 있습니다. 이 보험의 보상 한도는 10입니다. 고객이 전자 기기의 고장으로 인해 발생하는 수리 비용 $( Y )$는 다음과 같은 밀도 함수를 따릅니다:

$f(y) = \begin{cases}2y^{-3} & y > 1 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$

이 보험 정책 하에서 수리 비용의 기대값을 계산하십시오.

문제 풀이

보험 정책 하에서 수리 비용의 기대값을 계산하기 위해, $( Y )$의 기대값을 구합니다. 수리 비용이 $10$을 넘지 않으므로 $( 1 < Y \leq 10 )$ 구간에서 기대값을 계산합니다.

• $E[$수리 비용$] = \int_{1}^{10} y \cdot f(y) \, dy + \int_{10}^{\infty} 10 \cdot f(y) \, dy$

여기서 $f(y) = 2y^{-3}$ 이므로:

• $E[$수리 비용$] = \int_{1}^{10} y \cdot 2y^{-3} \, dy + \int_{10}^{\infty} 10 \cdot 2y^{-3} \, dy$
• $= 2 \int_{1}^{10} y^{-2} \, dy + 20 \int_{10}^{\infty} y^{-3} \, dy$

첫 번째 적분:

• $2 \int_{1}^{10} y^{-2} \, dy = 2 \left[ -\frac{1}{y} \right]_{1}^{10} = 2 \left( -\frac{1}{10} + 1 \right) = 2 \left( \frac{9}{10} \right) = 1.8$

두 번째 적분:

• $20 \int_{10}^{\infty} y^{-3} \, dy = 20 \left[ -\frac{1}{2y^2} \right]_{10}^{\infty} = 20 \left( 0 + \frac{1}{200} \right) = 20 \left( \frac{1}{200} \right) = 0.1$

따라서 두 적분의 합은:

$E[$수리 비용$] = 1.8 + 0.1 = 1.9$

따라서, 보험 정책 하에서 발생하는 수리 비용의 기대값은 1.9입니다.